$\\$

`BN` cắt `CM` tại `G`

`b,`

`\triangle ABC` có : `M,N` là trung điểm của `AB,AC` (gt)

`=>MN` là đường trung bình

`=>` $MN//BC$ và `MN=1/2 BC`

`\triangle BGC` có : `E,F` là trung điểm của `BG,CG` (gt)

`=>EF` là đường trung bình

`=>` $EF//BC$ và `EF=1/2 BC`

$EF//BC,MN//BC$ (cmt) nên $EF//MN$

`EF=1/2 BC,MN=1/2 BC` (cmt) nên `EF=MN`

Tứ giac `MNFE` có : $EF//MN,EF=MN$ (cmt)

`<=>MNFE` là hình bình hành

`c,`

`\triangle ABC` có : `CM, BN` là đường trung tuyến (gt)

`G` là giao của `CM,BN`

`=>G` là trọng tâm mà `AG` cắt `BC` tại `H`

`=>AH` là đường trung tuyến hay `H` là trung điểm của `BC`

`\triangle ABC` có : `M,H` là trung điểm của `AB,BC` (gt, cmt)

`=>MH` là đường trung bình

`=>` $MH//AC$ và $MH=\dfrac{1}{2}AC$

$MH//AC$ (cmt) hay $MH//AN$

`MH=1/2 AC,AN=CN=1/2 AC` (cmt, gt) nên $MH=AN=CN$

Tứ giác `AMHN` có : $MH=AN, MH//AN$ (cmt)

`<=>AMHN` là hình bình hành mà `hat{MAN}=90^o` (gt)

`<=>AMHN` là hình chữ nhật

`d,`

`I` là trung điểm của `MH` (gt) tức `HN` đi qua `I` (*)

$MH//AC$ (cmt) hay $MH//CN$

Tứ giác `MNCH` có : $MH//CN, MH=CN$  (cmt)

`<=>MNCH` là hình bình hành

Nên `CM` cắt `HN` tại trung điểm mỗi đường mà `I` là trung điểm của `HN` (gt)

`=>I` là trung điểm của `MC` hay `MC` đi qua `I` (**)

`K` đối xứng `M` qua `N` (gt) nên `N` là trung điểm của `MK`

`=>MN=1/2 MK` mà `MN=1/2 BC` (cmt)

`=>1/2 MK=1/2 BC=> MK=BC`

$MN//BC$ (cmt) hay $MK//BC$

Tứ giác `BMKC` có : $MK//BC,MK=BC$ (cmt)

`<=>BMKC` là hình bình hành

Nên `BK` cắt `CM` tại trung điểm mỗi đường mà `I` là trung điểm của `CM` (cmt)

`=>I` là trung điểm của `BK` hay `BK` đi qua `I` (***)
(*)(**)(***) `=> HN,MC,BK` đồng quy tại `I`

 

Đáp án+Giải thích các bước giải:

b) Xét `\triangleABC` có:

`M,N` lần lượt là trung điểm của `AB,AC` $\text{(gt)}$

`=>MN` là đường trung bình của `\triangleABC`

`=>MN=1/2BC` và `MN////BC` `(`tính chất đường trung bình trong tam giác`)` `(1)`

Xét `\triangleBGC` có:

`E,F` lần lượt là trung điểm của `BG,GC`

`=>EF` là đường trung bình của `\triangleBGC`

`=>EF=1/2BC` và `EF////BC` `(`tính chất đường trung bình trong tam giác`)` `(2)`

Từ `(1)` và `(2)` ta suy được: `MN=EF` và `MN////EF`

`=>MNFE` là hình bình hành `(`dấu hiệu nhận biết hình bình hanh`)` `(đpcm)`

c) `\triangleABC` vuông tại `A` $\text{(gt)}$

`=>\hat{BAC}=90^0` hay `\hat{MAN}=90^0`

`\triangleABC` có `BN,CN` là hai đường trung tuyến cắt nhau tại `G`

`=>G` là trọng tâm

`=>AH` là trung tuyến 

`=>H` là trung điểm của `BC`

Xét `\triangleABC` có:

`M,H` lần lượt là trung tuyến của `AB,BC`

`=>MH` là đường trung bình của `\triangleABC` 

`=>MH=1/2AC` và `MH////AC`

Hay `MH=1/2AC` và `MH////AN` `(3)`

`N` là trung điểm của `AC` $\text{(gt)}$

`=>AN=NC=1/2AC` `(4)`

Từ `(3)` và `(4)` ta suy được: `AN=MH=NC` và `MH////AN`

Xét tứ giác `AMHN` có `AN=MH` và `MH////AN` `(cmt)` nên:

`=>AMHN` là hình bình hành `(`dấu hiệu nhận biết hình bình hành`)`

Mà `\hat{MAN}=90^0` `(cmt)` nên:

`=>AMHN` là hình chữ nhật `(`dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật`)` `(đpcm)`

d) `I` là trung điểm của `HN` $\text{(gt)}$

`=>HN` đi qua `I` `(a)`

Xét tứ giác `HMNC` có `NC=MH` và `MH////NC` `(cmt)` nên:

`=>HMNC` là hình bình hành `(`dấu hiệu nhận biết hình bình hành`)` 

`=>MC` và `HN` cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường `(`tính chất hình bình hành`)`

Mà `I` là trung điểm của `HN` $\text{(gt)}$ nên:

`=>I` là trung điểm của `MC`

`=>MC` đi qua `I` `(b)`

Ta có:

`K` là điểm đối xứng với `M` qua `N` $\text{(gt)}$

`=>N` là trung điểm của `KM`

`=>MN=1/2KM`

Mà `MN=1/2BC` `(`câu `b)`

`=>1/2KM=1/2BC`

`=>KM=BC`

`MN////BC` `(`câu `b)` hay `KM////BC`

Xét tứ giác `MBCK` có `KM=BC` và `KM////BC` `(cmt)` nên:

`=>MBCK` là hình bình hành `(`dấu hiệu nhận biết hình bình hành`)`

`=>BK` và `MC` cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường `(`tính chất hình bình hành`)`

Mà `I` là trung điểm của `MC` `(cmt)` nên:

`=>I` là trung điểm của `BK`

`=>BK` đi qua `I` `(c)`

Từ `(a),(b)` và `(c)` ta suy được: `HN,MC,BK` đồng quy tại `I` `(đpcm)`