Đáp án:

$m\in \{-14;2\}$

Giải thích các bước giải:

$y = x^3 + 3x^2 - 9x + 2m + 1$

Phương trình hoành độ giao điểm với $Ox$

$\quad x^3 + 3x^2 - 9x + 2m + 1=0$

$\Leftrightarrow 2m = - x^3 - 3x^2 + 9x - 1\qquad (*)$

Đặt $f(x) = - x^3 - 3x^2 + 9x - 1$

$\Rightarrow f'(x) = -3x^2 - 6x + 9$

$f'(x) = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x =-3\\x = 1\end{array}\right.$

Bảng biến thiên $f(x):$

\(\begin{array}{|c|cr|}
\hline
x & -\infty & & -3 & & & &1 & && +\infty\\
\hline
f'(x) & & - & 0& & + && 0 &  &- &\\
\hline
&+\infty&&&&&&4\\
f(x) & &\searrow& &&\nearrow&&&&\searrow\\
&&&-28&&&&&&&-\infty\\
\hline
\end{array}\)

Đường cong đã cho có `2` điểm chung với $Ox$

$\Leftrightarrow (*)$ có `2` nghiệm

$\Leftrightarrow y = 2m$ cắt $y= f(x)$ tại `2` điểm

$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}2m = 4\\2m = -28\end{array}\right.$

$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}m = 2\\m = -14\end{array}\right.$

Vậy $m\in \{-14;2\}$