1. Xét hai tam giác vuông \(\Delta ABH\) và \(\Delta ACH\) có:

$AH$ cạnh chung

$AB=AC=10cm$ (gt)

Vậy \(\Delta ABH=\Delta ACH\) (cạnh huyền- cạnh góc vuông)

$HC=HB$ (hai cạnh tương ứng) hay H là trung điểm BC

2. \(BH=HC =\dfrac{BC}{2}=\dfrac{12}{2}=6\) cm

Áp dụng định lí Py-ta-go vào $\Delta$ vuông $ABH$ có:

\(AH^2=AB^{2}-HB^{2}=10^{2}-6^{2}=64\Rightarrow AH=8\) cm

3. Xét $\Delta AKE$ và $\Delta AKH$ có:

$AK$ chung

$\widehat{AKE}=\widehat{AKH}=90^o$ (do $HK\bot AC$)

$KE=KH$ (do giả thiết cho K là trung điểm của HE)

$\Rightarrow\Delta AKE=\Delta AKH$ (c.g.c)

$\Rightarrow AE=AH$ (hai cạnh tương ứng) (1)

Cách khác để chứng minh AE=AH

Do $\Delta AHE$ có K là trung điểm của HE nên AK là đường trung tuyến,

Có $HK\bot AC$ hay $AK\bot HE$ nên AK là đường cao

$\Delta AHE$ có AK là đường trung tuyến cũng là đường cao nên $\Delta AHE$ cân đỉnh A nên AE=AH.

4. Ta có $HI\bot AB$ hay $AI\bot DH\Rightarrow $ AI là đường cao của \(\Delta ADH\)
Mà IH=ID nên AI cũng là đường trung tuyến \(\Delta ADH\) 
Vậy \(\Delta AEH\) cân tại A
Nên AD=AH (2)

Từ (1) và (2) suy ra AE=AD hay \(\Delta AED\) cân tại A.

5. Xét 2 tam giác vuông $\Delta AHI$ và $\Delta AHK$ có:

AH chung

$\widehat{IAH}=\widehat{KAH}$ (hai góc tương ứng của $\Delta ABH=\Delta ACH$)

$\Rightarrow \Delta AHI=\Delta AHK$ (cạnh huyền- góc nhọn)

$\Rightarrow HI=HK\Rightarrow 2HI=2HK\Rightarrow HD=HE$

Mà ta có $AD=AE$ (cmt)

$\Rightarrow AH$ là đường trung trực của $DE\Rightarrow AH\bot DE$ mà $AH\bot BC$

$\Rightarrow DE//BC$

6. Để A là trung điểm ED thì $DA\bot AH$ mà $\Delta ADH$ cân (cmt) nên $\Delta ADH$ vuông cân đỉnh A.

Có $AI$ là đường cao, đường trung tuyến nên $AI$ cũng là đường phân giác nên

$\widehat{DAI}=\widehat{HAI}=\dfrac{90^o}{2}=45^o$

$\Rightarrow\widehat{IAH}=\widehat{BAH}=\widehat{CAH}=45^o$ (do $\Delta ABH=\Delta ACH$)

$\Rightarrow\widehat{BAC}=\widehat{BAH}+\widehat{CAH}=90^o$ và $\Delta ABC$ cân đỉnh A

$\Rightarrow\Delta ABC$ vuông cân đỉnh A.

Vậy nếu $\Delta ABC$ vuông cân đỉnh A thì $A$ là trung điểm của DE.