a, 

Tứ giác AFHE có 2 góc đối là góc vuông nên là tứ giác nội tiếp => A, F, H, E thuộc 1 đường tròn. 

Tứ giác BFEC có 2 đỉnh kề nhau cùng nhìn 1 cạnh cố định dưới góc vuông nên là tứ giác nội tiếp => B, F, C, E thuộc 1 đường tròn.  

b,  

Ta có $\widehat{AFE}= 90^o- \widehat{EFC}$; $\widehat{ACB}= 90^o- \widehat{EBC}$ 

Mà $\widehat{EFC}= \widehat{EBC}$ (2 góc nhìn đoạn cố định) 

=> $\widehat{AFE}= \widehat{ACB}$ 

$\Delta$ AFE và $\Delta$ ACB có 2 góc chung, 2 góc tương ứng bằng nhau nên đồng dạng 

=> $\frac{AF}{AE}= \frac{AC}{AB}$ 

=> AF.AB= AE.AC

c, 

Vì BFEC là tứ giác nội tiếp => $\widehat{FBE}= \widehat{FCE}$ (2 góc nhìn đoạn cố định) 

Mà $\widehat{FBE}$ nội tiếp chắn $\stackrel\frown{AE'}$ 

$\widehat{FCE}$ nội tiếp chắn $\stackrel\frown{AF'}$ 

=> $\stackrel\frown{AE'}= \stackrel\frown{AF'}$ 

d, 

Vì $\stackrel\frown{AF'}= \stackrel\frown{AE'}$ nên A là điểm chính giữa $\stackrel\frown{E'F'}$ 

=> Bán kính OA vuông góc với dây E'F'. 

e, 

Theo câu b, ta có $\Delta$ AFE ~ $\Delta$ ACB. 

f, 

Ta có Ax $\bot$ AO, E'F' $\bot$ AO 

=> Ax // E'F' 

g, (mình chưa nghĩ ra) 

h, 

BHCI là hình bình hành nên 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường 

=> M là trung điểm IF => F, M, I thẳng hàng 

i, (Mình chưa nghĩ ra)