Đáp án:

D

Giải thích các bước giải:

a) \({S_{ABC}} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\)

\(SH = CH = \dfrac{{a\sqrt 7 }}{3}\)

\( \Rightarrow {V_{S.ABC}} = \dfrac{1}{3}SH.{S_{ABC}}\)

\( = \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{{a\sqrt 7 }}{3} \cdot \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\)

\( = \dfrac{{{a^3}\sqrt {21} }}{{36}}\)

b) Gọi \(K,M\) là hình chiếu của \(H,A\) lên \(BC\)

\( \Rightarrow \dfrac{{HK}}{{AM}} = \dfrac{{BH}}{{BA}} = \dfrac{1}{3}\) \( \Rightarrow HK = \dfrac{1}{3}AM = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{6}\)

Gọi \(I\) là hình chiếu của \(H\) trên \(SK\)

\( \Rightarrow HI \bot SK\) mà \(BC \bot \left( {SHK} \right)\) \( \Rightarrow BC \bot HI\)

\( \Rightarrow HI \bot \left( {SBC} \right)\) \( \Rightarrow d\left( {H,\left( {SBC} \right)} \right) = HI\)

Có \(\dfrac{1}{{H{I^2}}} = \dfrac{1}{{S{H^2}}} + \dfrac{1}{{H{K^2}}}\) \( \Rightarrow HI = \dfrac{{SH.HK}}{{\sqrt {S{H^2} + H{K^2}} }}\)

\( = \dfrac{{a\sqrt 7 }}{3} \cdot \dfrac{{a\sqrt 3 }}{6}:\sqrt {\dfrac{{7{a^2}}}{9} + \dfrac{{3{a^2}}}{{36}}} = \dfrac{{\sqrt {651} }}{{93}}a\)

Chọn D.