a) Tứ giác $BEFI$ có:

$\widehat{BIF}=90^o$ (giả thiết) suy ra $I$ thuộc đường tròn đường kính (BF)

$\widehat{BEF}=90^o$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) nên $E$ thuộc đường tròn đường kính (BF)

$\Rightarrow BEFI$ nội tiếp đường tròn đường kính (BF)

b) $AB\bot CD,\Delta OCD$ cân có OI là đường cao nên cũng là đường trung tuyến, nên I là trung điểm của CD

$\Delta ACD$ có $AI$ vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến nên $\Delta ACD$ cân đỉnh A nên $AC=AD$

$\Rightarrow\widehat{ACF}=\widehat{AEC}$ (hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau)

Xét $\Delta ACF$ và $\Delta AEC$ có:

$\widehat{A}$ chung

$\widehat{ACF}=\widehat{AEC}$ (chứng minh trên)

$\Rightarrow\Delta ACF\sim\Delta AEC$ (g.g)

$\Rightarrow\dfrac{AC}{AE}=\dfrac{AF}{AC}$ (hai cạnh tương ứng tỉ lệ)

$\Rightarrow AE.AF=AC^2$

c) $\widehat{ACF}=\widehat{AEC}\Rightarrow AC$ là tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp $\Delta CEF$ (1)

Mặt khác $\widehat{ACB}=90^o$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) $\Rightarrow AC\bot CB$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $CB$ chứa đường kính đường tròn ngoại tiếp $\Delta CEF$

Mà $CB$ cố định nên tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta CEF$ thuộc CB cố định khi E thay đổi trên cung nhỏ BC.