Đáp án:

 

Giải thích các bước giải:

 

a/

Xét `\triangle ACE` có :

`CD` là đường trung tuyến ứng với cạnh  `AE`

Ta có `CD =AD` ( đ/n hình vuông ) . Mà `AD =DE` (gt) `-> AD+DE =2CD`

`-> 2CD =AE -> CD = 1/2AE` .

`=> \triangle ACE` là tam giác vuông (Đl) `\quad (1)`

$\\$
Xét `\triangle ACD` vuông tại `D ( CD \bot  AE)` và `\triangle ECD` vuông tại `D( CD \bot  AE)` có :

`AD = DE` (gt)

`CD` _ cạnh chung

`=> \triangle ACD = \triangle ECD` ( `2` cạnh góc vuông)

`=> AC = CE` ( `2` cạnh tương ứng ) 

`=> \triangle ACE` là tam giác cân `\quad (2)`

$\\$
Từ `(1),(2) => ACE` là tam giác vuông cân (đpcm).

    

b/    

Vì `I,K` là trung trung điểm của `AB,EH`

`=> IK` là đường trung bình của tam giác `\triangle AHE` 

`=> IK = 1/2AE = AD = BC` và $IK \parallel AD \Rightarrow IK \parallel BC ( AD \parallel BC)$

Từ `2` điều : $IK =BC | IK \parallel BC \Rightarrow BCKI$ là hình bình hành. (đpcm).

  

c/          

Ta có : $IK = AD | IK \parallel AD \Rightarrow AIKD$ là hình bình hành .

Lại có $AK$ cắt $DI$ tại $M$ (gt) . Và $AK,DI$ lần lượt lại $2$ đường chéo của hình bình hành $AIKD$

Nên $M$ là trung điểm của $ID \quad (3)$ (t/c)

$\\$
Ta có : $BCKI$ là hình bình hành .

Lại có $BK$ cắt $CI$ tại $N$ (gt) . Và $BK,CI$ lần lượt lại $2$ đường chéo của hình bình hành $BCIK$ 
Nên $N$ là trung điểm của $IC \quad (4)$ (t/c) 

$\\$
Từ `(3),(4) => MN` là đường trung bình của `\triangle ICD` . Nên `MN =1/2CD `

Mà `CD =AD` (đ/n hình vuông ) `=> MN =1/2AD => AD = 2MN` (đpcm).