a) Ta có đường thẳng qua A vuông góc với EF tại D nên $AD\bot EF\Rightarrow \widehat{ODI}=90^o$

Đường thẳng (d) tiếp xúc với đường tròn (O) tại B nên $\widehat{OBI}=90^o$

Tứ giác $ODIB$ có: $\widehat{ODI}+\widehat{OBI}=180^o$

$\Rightarrow ODIB$ nội tiếp đường tròn đường kính (OI)

Hay $O, D, I, B$ cùng nằm trên một đường tròn.

b) Tứ giác $AEBF $ có:

$\widehat{EAF}=\widehat{AEB}=\widehat{EBF}=\widehat{AFB}=90^o$ (các góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

$\Rightarrow AEBF$ là hình chữ nhật

c) Ta có $\widehat{AFE}=\widehat{ABE}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung AE của (O))

$\widehat{ABE}=\widehat{AMN}$ (cùng phụ $\widehat{EAB}$)

Từ hai điều trên suy ra $\widehat{AFE}=\widehat{AMN}$

$\Rightarrow\Delta AFE\sim\Delta AMN$ (g.g)

$\Rightarrow\dfrac{AF}{AM}=\dfrac{AE}{AN}$ (hai cạnh tương ứng tỉ lệ)

$\Rightarrow AF.AN=AE.AM$

d) Ta có: $\widehat{AFE}=\widehat{AMN}$ (chứng minh trên)

$AD\bot EF\Rightarrow\Delta ADF\bot D\Rightarrow\widehat{AFE}+\widehat{IAN}=90^o$

$\Delta AMN\bot A\Rightarrow \widehat{AMN}+\widehat{INA}=90^o$

Từ hai điều trên suy ra $\widehat{IAN}=\widehat{INA}\Rightarrow\Delta IAN$ cân đỉnh $I$

$\Rightarrow IA=IN$ (*)

Chứng minh tương tự $\widehat{M}=\widehat{IAM}$ do cùng phụ hai góc bằng nhau $\widehat{INA}=\widehat{IAN}$

$\Rightarrow\Delta IAM$ cân đỉnh I nên $IM=IA$ (**)

Từ (*) và (**) suy ra $IM=IN\Rightarrow I$ là trung điểm cạnh $MN$

e) Kẻ $FK\bot MN$

$MA\bot FN$ kéo dài $MA$ cắt $FK$ tại $H$

$\Rightarrow H$ là trực tâm của $\Delta FMN$

Ta có: $AH//BF$ do cùng $\bot AF$

$AB//FH$ do cùng $\bot MN$

$\Rightarrow ABFH$ là hình bình hành $\Rightarrow AB=HF=2R$

Lấy O' đối xứng với O qua A nên $OO'=2R$ cố định

$\Rightarrow FH=OO'=2R$ và $OO'//HF$

$\Rightarrow OO'HF$ là hình bình hành nên $O'H=OF=R$

$\Rightarrow H$ thuộc đường tròn tâm $(O',R)$

$\Rightarrow $ trực tâm của $\Delta FMN$ thuộc đường tròn $(O',R)$ trong đó $O'$ đối xứng với $O$ qua $A$ cố định.