a.

Trong $(O)$ có $\widehat{BMD} = \widehat{BAC}$ (góc nội tiếp cùng chắn hai cung bằng nhau cung BC = cung BD do B là điểm chính giữa của CD)

$\Rightarrow\widehat{HMK} =\widehat{ HAK}$

$M, A$ cùng nhìn cạnh HK dưới góc bằng nhau nên

$ A,M,H,K$ cùng thuộc một đường tròn.

b.

$\widehat{CDM} =\widehat{CAM}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung CM của (O))

$\widehat{HAM} =\widehat{ HKM}$ (góc nội tiếp cung chắn cung MH)

Từ hai điều trên $\Rightarrow \widehat{CDM} =\widehat{HKM}$ mà chúng ở vị trí đồng vị 

$\Rightarrow KH // CD$

c. Gọi $I$ là trung điểm của CM nên $OI\bot CM$ (quan hệ giữa đường kính và dây cung)

$\Delta OCM$ cân đỉnh O $\widehat{MOI}=\dfrac{\widehat{MOC}}2$

$\widehat{MDC}=\dfrac{\widehat{MOC}}2$ (góc nội tiếp bằng nửa góc ở tâm)

Từ hai điều trên suy ra $\widehat{MOI} =\widehat{MDC}$

$\Delta IOM\bot I:\widehat{CMO} = 90^o -\widehat{ MOI} = 90^o - \widehat{MDC}$

$\widehat{CKO} = 90^o -\widehat{ HKC} = 90^o - \widehat{KCD} = 90^o - \widehat{KDC}$

Từ hai điều trên suy ra $\widehat{CMO} =\widehat{CKO}$

$\Rightarrow $ Tứ giác MKOC nội tiếp

$\widehat{OMS} = 180^o -\widehat{OMC}$

$\widehat{OKM }= 180^o - \widehat{OCM}=180^o-\widehat{OMC}$

$\Delta OMS$ và $OKM$ có:

$\widehat O$ chung

$\widehat{OMS}=\widehat{OKM}$ (chứng minh trên)

$\Rightarrow \Delta OMS\sim\Delta OKM$ (g.g)

$\Rightarrow\dfrac{OM}{OK}=\dfrac{OS}{OM}$ (hai cạnh tương ứng)

$\Rightarrow OK.OS=OM^2=R^2$ (đpcm).