Gửi bạn:

$a,$ $D$ đối xứng với $I$ qua $AC$

$⇒AC$ là đường trung trực $DI$

$⇒$ $IN⊥AC$

Xét tứ giác $MANI$ có:

$\widehat{IMA}=90^o$

$\widehat{MAN}=90^o$

$\widehat{INA}=90^o$

$⇒$ $MANI$ là hình chữ nhật 

$⇒$ $MN=AI$ ($2$ đường chéo)

$b,$ Vì $AC$ là đường trung trực của $DI$

$⇒$ $AI=AD,CI=CD$

$AI$ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền $BC$

$⇒AI=BI=IC$

$⇒$ $AI=IC=CD=DA$

$⇒$ $ADCI$ là hình thoi

$c,$ Khi $ADCI$ là hình vuông

$⇒\widehat{AIC}=90^o$

Mà $AI=IC=IB$

$⇒$ $ΔAIC$ vuông cân tại $A$

$⇒$ $AI⊥IC$

$⇒$ $AI$ là đường cao $ΔABC$

Lại có $AI$ cũng là đường trung tuyến $ΔABC$

$⇒ΔABC$ cân tại $A$

Có: $\widehat{BAC}=90^o$

$⇒$ $ΔABC$ vuông cân tại $A$

Vậy nếu $ΔABC$ vuông cân tại $A$ thì $ADCI$ là hình vuông

 

Đáp án:

 

Giải thích các bước giải:

a/ Ta có : AI là đường trung tuyến ΔABC ⇒ AI = 1/2 BC (1)

Xét ΔAIC cân tại I :

Ta có : IN ⊥ AC ⇒ N là trung điểm AC 

Xét ΔAIB cân tại I :

Ta có : IM ⊥ AB ⇒ M là trung điểm AB 

Xét ΔABC ⊥ tại A :

Ta có $\left \{ {{N là trung điểm AC} \atop {M là trung điểm AB}} \right.$  

⇒ MN là đường trung bình ΔABC ⇒ MN = 1/2 BC  (2)

Từ (1),(2) ⇒ MN = AI

b/  Xét tứ giác ADCI :

Ta có ID cắt AC tại N 

mà N là trung điểm AC (cmt) 

      N là trung điểm ID ( D là trục đối xứng của I)

⇒ Tứ giác ADCI là hbh 

Xét tứ giác ADCI : 

Ta có : ADCI là hbh

           IN ⊥ AC ⇒ ID ⊥ AC 

⇒ tứ giá ADIC là hình thoi

c/ Với điều kiện ΔABC vuông cân tại A thì ADCI là hình vuông