e) để AC ⊥ CD <=> góc ACD = 90 độ (1)

 mà AB // CD (chứng minh b) => góc ACD + góc BAC = 180 độ (2 góc trong cùng phía) (2)

từ (1) & (2) => góc BAC = 90 độ

vậy tam giác ABC vuông tại A thì AC ⊥ CD

f) chứng minh ΔBPM = ΔCQM (cgc) => BP = QC (2 cạnh tương ứng) (3)

chứng minh ΔAPM = ΔDQM (cgc) => AP = DQ (2 cạnh tương ứng) (4)

để Q là trung điểm DC <=> DQ = QC (tính chất) (5)

từ (3), (4) & (5) => BP = AP => P là trung điểm của AB (định nghĩa)

vậy P là trung điểm AB thì Q là trung điểm DC

Giải thích các bước giải:

a, M là trung điểm BC ⇒ MB = MC

Xét ΔAMB và ΔDMC có:

MB = MC; $\widehat{AMB}$ = $\widehat{DMC}$ (đối đỉnh); MA = MD

⇒ ΔAMB = ΔDMC (c.g.c) (đpcm)

b, ΔAMB = ΔDMC (c.g.c) ⇒ AB = CD (2 cạnh tương ứng) (đpcm)

c, ΔAMB = ΔDMC (c.g.c)  ⇒ $\widehat{MAB}$ = $\widehat{MDC}$

⇒ AB ║ CD (do có 2 góc so le trong bằng nhau) (đpcm)

d, $\widehat{MAB}$ = $\widehat{MDC}$ ⇒ $\widehat{MAP}$ = $\widehat{MDQ}$

Xét ΔMAP và ΔMDQ có:

$\widehat{MAP}$ = $\widehat{MDQ}$; MA = MD; $\widehat{AMP}$ = $\widehat{DMQ}$

⇒ ΔMAP = ΔMDQ (g.c.g)

⇒ PM = MQ (đpcm)

e, Vì AB ║ CD (câu c) nên để AC ⊥ CD thì AC ⊥ AB

⇔ ΔABC vuông tại A

f, Q là trung điểm của đoạn CD ⇔ DQ = $\frac{CD}{2}$ 

mà AB = CD (câu b); DQ = AP (do ΔMAP = ΔMDQ)

⇔ AP = $\frac{AB}{2}$ 

⇔ P là trung điểm của đoạn AB.