13.

a) Xét ΔABC:

AD là tia phân giác của góc BAC (gt)

⇒ AB/AC = BD/CD (t/c)

⇒ BD/CD = 14/10 = 7/5

Mà BD + CD = BC = 12 cm

⇒ BD = 7 cm

    CD = 5 cm

Vậy BD = 7 cm, CD = 5 cm.

b) Kẻ đường cao AH của ΔABC

SΔABD = AH . BD :  2

SΔACD = AH . DC : 2

⇒ SΔABD / SΔACD = BD/CD = 7/5

Vậy SΔABD / SΔACD = 7/5

14.

Xét ΔABC:

BD là tia phân giác góc ABC (gt)

⇒ AB/BC = AD/CD (t/c)

⇒ AD/CD = 2/7

Mà DC - DA = 1 cm

⇒ AD = 0,4 cm

     CD = 1,4 cm

⇒ AC = 1,8 cm

Vậy AC = 1,8 cm.

15.

Xét ΔABC:

AD là tia phân giác góc BAC (gt)

⇒ AB/AC = BD/CD (t/c)

⇒ AB/10 = 7,5/5

⇒ AB = 15 cm

Xét ΔABC:

DE // AB (gt)

⇒ CE/AC = CD/BC = DE/AB (Hq ĐL Thales Δ)

⇒ CE/10 = DE/15 = 5/5+7,5 = 5/12,5

⇒ CE = 6,25 cm; DE = 6 cm

⇒ AE = 10 - 6,25 = 3,75 cm

Vậy AE = 3,75 cm; CE = 6,25 cm; DE = 6 cm.

16.

Xét Δ ABC:

AD là tia phân giác của góc BAC (gt)

⇒ AB/AC = BD/DC (t/c)

⇒ BD/DC = 6/9 = 2/3

Mà BD + DC = BC = 7,5 cm

⇒ BD = 3 cm

Xét Δ ABC:

AE là tia phân giác ngoài của góc A (gt)

⇒ EB/EC = AB/AC (t/c)

⇒ EB/EC = 6/9 = 2/3 

Mà EC - EB = BC = 7,5

⇒ EB = 15 cm; EC = 22,5 cm

Vậy BD = 3 cm; EB = 15 cm; EC = 22,5 cm.

17.

a) Xét ΔAMB:

MD là tia phân giác của góc AMB (gt)

⇒ AM/MB = AD/BD (t/c) (1)

Xét ΔAMC:

ME là tia phân giác của góc AMC (gt)

⇒ AM/MC = AE/EC (2)

(1), (2): AD/BD = AE/EC

⇒ DE = BC (ĐL Thales đảo Δ)

b) AM là trung tuyến ΔABC (gt)

⇒ M là trung điểm BC

⇒ MB = MC

Xét ΔABM:

DI // BM (cmt)

⇒ AD/AB = AI/AM = DI/BM (Hq ĐL Thales Δ) (3)

Xét Δ AMC:

EI // MC (cmt)

⇒ AI/AM = AE/AC = EI/MC (Hq ĐL Thales Δ) (4)

(3), (4): DI/BM = EI/MC

Mà MB = MC (cmt)

⇒ DI = EI

⇒ I là trung điểm DE

18.

Xét ΔABC (góc BAC = 90o):

    AB² + AC² = BC² (ĐL Pythagoras)

⇒ 20² + 21² = BC²

⇒ BC = 29 cm

Vậy BC = 29 cm.

b) Xét ΔABC:

AD là tia phân giác góc BAC (gt)

⇒ AB/AC = BD/DC (t/c)

⇒ BD/DC = 20/21

Mà BD + DC = BC = 29 cm

⇒ BD = 580/41 cm; DC = 609/41 cm

c) Xét tứ giác AEDF:

DE // AF (gt)

AE // DF (gt)

⇒ AEDF là hình bình hành (t/c)

Mà góc EAF = 90o (gt)

⇒ AEDF là hình chữ nhật (t/c)

Xét Δ ABC:

DE // AC (gt)

⇒ BE/BA = BD/BC = ED/AC (Hq ĐL Thales Δ)

⇒ DE/21 = 580/41 / 29

⇒ DE = 16820/861 cm

Xét Δ ABC:

DF // AB (gt)

⇒ CD/CB = CF/CA = DF/AB (Hq ĐL Thales Δ) 

⇒ DF/20 = 609/41 / 29

⇒ DF = 17661/820 cm

⇒ S hình chữ nhật AEDF = 16820/861 . 17661/820 = 707281/1681 cm²