Đáp án:

$M\left(\dfrac{16}{7};\dfrac{25}{7}\right)$

Giải thích các bước giải:

$y = 2x - 1 \Leftrightarrow 2x - y - 1 =0$

Ta có: $(2.0 + 3 - 1)(2.4 - 2 - 1) = 10 >0$

$\Rightarrow A, B$ nằm cùng phía so với $(d)$

Gọi $A'$ là điểm đối xứng $A$ qua $(d)$ và $AA'\cap (d) = \{H\}$

$\Rightarrow (d)$ là trung trực của $AA';\ A'$ đối xứng $A$ qua $H$

$\Rightarrow MA = MA'$

$\Rightarrow MA + MB = MA' + MB \geqslant A'B$

Khi đó: $MA + MB\ \ \min$

$\Leftrightarrow MA' + MB\ \ \min$

$\Leftrightarrow MA' + MB = A'B$

$\Leftrightarrow M$ là giao điểm của $A'B$ và $(d)$

Gọi $(d')$ là đường thẳng qua $A$ và vuông góc $(d)$

$\Rightarrow (d'): y = - \dfrac12x + b$

Có: $A(0;-3)\in (d')$

$\Rightarrow -\dfrac12\cdot 0 + b = -3$

$\Rightarrow b = - 3$

$\Rightarrow (d'): y = - \dfrac12x - 3$

Tọa độ $H$ là nghiệm của hệ:

$\begin{cases}y = - \dfrac12x - 3\\y = 2x - 1\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}x = \dfrac45\\y = \dfrac35\end{cases}$

$\Rightarrow H\left(\dfrac45;\dfrac35\right)$

$\Rightarrow A'\left(\dfrac85;\dfrac{21}{5}\right)$

Gọi $(d''): y = mx + n$ là đường thẳng đi qua $A'$ và $B$

$\Rightarrow \begin{cases}\dfrac{21}{5} = \dfrac{8}{5}m + n\\2 = 4m + n\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}m = -\dfrac{11}{12}\\n = \dfrac{17}{3}\end{cases}$

$\Rightarrow (d"): y = - \dfrac{11}{12}x + \dfrac{17}{3}$

Tọa độ $M$ là nghiệm của hệ:

$\begin{cases}y = - \dfrac{11}{12}x + \dfrac{17}{3}\\ y = 2x - 1\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}x = \dfrac{16}{7}\\y = \dfrac{25}{7}\end{cases}$

Vậy $M\left(\dfrac{16}{7};\dfrac{25}{7}\right)$