Đáp án:

 

Giải thích các bước giải:

a) Do SA là tiếp tuyến tại A của đường tròn (O) nên SAOˆ=90oSAO^=90o

Do I là trung điểm của dây cung BC nên theo tính chất đường kính dây cung ta có OI⊥BC⇒SIOˆ=90oOI⊥BC⇒SIO^=90o

Xét tứ giác SAOI có SAOˆ+SIOˆ=180oSAO^+SIO^=180o mà A và I là hai đỉnh đối nhau nên SAOI là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính SO.

Xét tam giác cân OBC có OI là đường trung tuyến nên đồng thời là đường phân giác. Suy ra BODˆ=CODˆ⇒sđBD⌢=sđDC⌢BOD^=COD^⇒sđBD⌢=sđDC⌢

Xét đường tròn (O) có sđBD⌢=sđDC⌢⇒BADˆ=DACˆsđBD⌢=sđDC⌢⇒BAD^=DAC^ (Hai góc nội tiếp chắn các cung có số đo bằng nhau)

Suy ra AD là phân giác góc BAC.

b) Xét đường tròn (O) có:

SEAˆ=12(sđAB⌢+sđDC⌢)SEA^=12(sđAB⌢+sđDC⌢) (Góc có đỉnh nằm trong đường tròn)

=12(sđAB⌢+sđBD⌢)=12sđAD⌢=12(sđAB⌢+sđBD⌢)=12sđAD⌢

Lại có SAEˆ=12sđAD⌢SAE^=12sđAD⌢ (Góc tạo bởi tiếp tuyến dây cung)

⇒SEAˆ=SAEˆ⇒SEA^=SAE^ hay tam giác SAE cân tại S.

Suy ra SA = SE (1)

Xét tam giác SBA và tam giác SAC có:

Góc S chung

SABˆ=SCAˆSAB^=SCA^ (Góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến dây cung cùng chắn cung AB)

⇒ΔSBA∼ΔSAC(g−g)⇒ΔSBA∼ΔSAC(g−g)

⇒SBSA=SASC⇒SA2=SB.SC⇒SBSA=SASC⇒SA2=SB.SC (2)

Từ (1) và (2) suy ra SE2=SB.SCSE2=SB.SC

c) Xét tam giác SAM và tam giác SFA có:

Góc S chung

SAMˆ=SFAˆSAM^=SFA^ (Góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến dây cung cùng chắn cung AM)

⇒ΔSAM∼ΔSFA(g−g)⇒ΔSAM∼ΔSFA(g−g)

⇒SASF=SMSA⇒SA2=SM.SF⇒SASF=SMSA⇒SA2=SM.SF

⇒SM.SF=SE2⇒SMSE=SESF⇒SM.SF=SE2⇒SMSE=SESF

Xét tam giác SME và tam giác SEF có:

Góc S chung

SMSE=SESFSMSE=SESF

⇒ΔSME∼ΔSEF(c−g−c)⇒ΔSME∼ΔSEF(c−g−c)

⇒MESˆ=EFMˆ=12sđME⌢⇒MES^=EFM^=12sđME⌢

Suy ra SE là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác EFM.

d)  Kẻ AH vuông góc SO tại H.

 chứng minh FN vuông góc SD.

Sau đó xét tam giác SFD có SI và FN là các đường cao nên N là trực tâm của tam giác

Vậy thì N thuộc đường cao DM hay M, N, D thẳng hàng.

 còn hình thì cậu tự vẽ nha