Gửi bạn:

$a,$ Xét tứ giác $AMIN$ có:

$IM⊥AB⇒\widehat{IMA}=90^o$

$IN⊥AC⇒\widehat{INA}=90^o$

$AB⊥AC⇒\widehat{MAN}=90^o$

$⇒$ $AMIN$ là hình chữ nhật

$⇒$ $MN=AI$

$b,$ $D$ đối xứng với $I$ qua $N$

$⇒$ $N$ là trung điểm của $ID$

$⇒$ $CN$ là đường trung tuyến $ΔCID$

Ta có: $IN⊥AC$ $⇒$ $ID⊥AC$

$⇒$ $CN$ là đường trung trực của $ID$

$A,N,C$ thẳng hàng

$⇒$ $AC$ là đường trung trực của $ID$

$⇒$ $AI=AD,CI=CD$

Mà: $AI$ là đường trung tuyến ứng vs cạnh huyền $BC$

$⇒AI=IC=\dfrac{1}{2}.BC$

$⇒$ $AI=AD=CI=CD$

$⇒$ $ADCI$ là hình thoi

$c,$ Khi $ADCI$ là hình vuông

$⇒$ $\widehat{AIC}=90^o$

Lại có: $AIC$ là tam giác vuông cân tại $I$

$⇒$ $AI$ cũng là đường cao $ΔABC$

Mà: $AI$ là đường trung tuyến $ΔABC$

$⇒$ $ΔABC$ cân tại $A$

Do: $\widehat{BAC}=90^o$

$⇒$ $ΔABC$ vuông cân tại $A$

Vậy khi $ΔABC$ vuông cân tại $A$ thì $ADCI$ là hình vuông