a) * Xét 2 tam giác vuông ADB và AEC có: $\widehat{A}$ chung

⇒ΔADB đồng dạng ΔAEC (g-g)

⇒$\frac{AD}{AE}=$ $\frac{AB}{AC}$ (các cạnh tương ứng tỷ lệ)

⇔AD.AC=AE.AB

* Ta có: 

AD.AC=AE.AB⇔ $\frac{AD}{AB}=$ $\frac{AE}{AC}$

Xét 2 tam giác ADE và ABC có:

$\widehat{A}$ chung

$\frac{AD}{AB}=$ $\frac{AE}{AC}$

Suy ra ΔADE đồng dạng ΔABC (c-g-c)

⇒$\widehat{ABC}=\widehat{ADE}$ (2 góc tương ứng)

b) Kẻ AH cắt BC tại F 

ΔABC có 2 đường cao BD và CF cắt nhau tại H

⇒AH là đường cao còn lại

⇒AH⊥BC

Xét 2 tam giác vuông ABF và CBE có:$\widehat{ABC}$ chung

Suy ra: ΔABF đồng dạng ΔCBE (g-g)

⇒$\frac{AB}{BC}=$ $\frac{BF}{BE}$

⇒ $BE.BA=BF.BC$ (1)

Tương tự: ΔAFC đồng dạng ΔBDC (g-g)

⇒$\frac{AC}{BC}=$ $\frac{CF}{DC}$

⇒ $CD.CA=CF.BC$ (2)

Công (1) và (2) ta có: $BE.BA=CD.CA=(BF+CF).BC=BC^2$

c) Ta có:

$\widehat{ABC}+\widehat{ECB}=90^o$

$\widehat{ADE}+\widehat{BDE}=90^o$

Mà $\widehat{ABC}=\widehat{ADE}$ suy ra: $\widehat{ECB}=\widehat{BDE}$ 

Xét 2 tam giác HED và HBC có:

$\widehat{ECB}=\widehat{BDE}$ 

$\widehat{EHD}=\widehat{BHC}$ 

Suy ra: ΔHED đồng dạng ΔHBC (g-g-g)

d) Khi ABC đều, D và E là trung điểm của AC và AB

⇒DE=1/2 BC

⇒$S_{HED}=\frac{1}{4}S_{HCB}$

và đường cao kẻ từ H của ΔHCB =2/3 đường cao kẻ từ D = 1/3 đường cao kẻ từ A 

⇒$S_{HCB}=\frac{1}{3}S_{ABC}$

⇒$S_{HED}=\frac{1}{12}S_{ABC}$