Giải thích các bước giải: 

a, MD ⊥ AB ⇒ $\widehat{MDA} = 90^o$

    ME ⊥ AC ⇒ $\widehat{MEA} = 90^o$

    ΔABC vuông tại A ⇒ $\widehat{DAE} = 90^o$

Tứ giác ADME có 3 góc vuông nên là hình chữ nhật (đpcm)

b, ΔABC vuông tại A ⇒ $AB^2 + AC^2 = BC^2$

⇔ $(\frac{3}{4}AC)^2 + AC^2 = 5^2$

⇔ $\frac{25}{16}AC^2 = 25$

⇔ $AC^2 = 16$ ⇔ AC = 4cm

⇒ AB = $\frac{3}{4}AC$ = 3cm

ΔABC có M là trung điểm của BC, MD ║ AC (cùng ⊥AB)

⇒ D là trung điểm của AB

⇒ MD = AB : 2 = 1,5cm

Tương tự ta có E là trung điểm của AC

⇒ ME = AC : 2 = 2cm

$S_{ADME} = MD.ME = 1,5.2 = 3cm^2$

c, Tứ giác AMCN có 2 đường chéo AC, MN cắt nhau tại E là trung điểm mỗi đường

⇒ AMCN là hình bình hành

mà AC ⊥ MN ⇒ AMCN là hình thoi

⇒ AN ║ BC

⇒ ANCB là hình thang

Để ANCB là hình thang cân thì $\widehat{ABC} = \widehat{NCB}$

⇔ $\widehat{ABC} = 2.\widehat{ACB}$ (AMCN là hình thoi nên $\widehat{NCB} = 2.\widehat{ACB}$

mà ΔABC vuông tại A

⇒ $\widehat{ABC} = 60^o; \widehat{ACB} = 30^o$

d, Gọi F = CI ∩ MN

ME ║ AB (cùng ⊥ AC) ⇒ MF ║ BI

ΔCBI có M là trung điểm của BC, MF ║ BI

⇒ F là trung điểm của CI

⇒ MF là đường trung bình của ΔCBI

⇒ BI = 2.MF

Tứ giác ANMB có các cặp cạnh đối song song nên là hình bình hành

Lại có O là giao 2 đường chéo

⇒ O là trung điểm của AM

Chứng minh được ΔOAI = ΔOMF (g.c.g)

⇒ AI = MF mà BI = 2.MF

⇒  $\frac{AI}{BI}$ =  $\frac{1}{2}$