Áp dụng định lý $\cos$ ta được:

$BC^2= AB^2 + AC^2 - 2AB.AC.\cos\widehat{A}$

$\Leftrightarrow BC^2 = 6^2 + 10^2 - 2.6.10.\cos120^\circ$

$\Leftrightarrow BC^2 = 196$

$\Rightarrow BC = 14$

a) Ta có:

$\quad AB.AC.\sin\widehat{A} = AH.BC = 2S_{ABC}$

$\Leftrightarrow AH = \dfrac{AB.AC.\sin\widehat{A}}{BC} = \dfrac{6.10.\sin120^\circ}{14}$

$\Leftrightarrow AH  =\dfrac{15\sqrt3}{7}$

b) Áp dụng tính chất đường phân giác, ta được:

$\quad\dfrac{BD}{DC} = \dfrac{AB}{AC}$

$\Leftrightarrow \dfrac{BD}{BC - BD} = \dfrac{AB}{AC}$

$\Leftrightarrow BD = \dfrac{AB.BC}{AB + AC} = \dfrac{6.14}{6 + 10}$

$\Leftrightarrow BD = \dfrac{21}{4}$

Áp dụng định lý $\cos$ ta được:

$\quad BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2AB.AD.\cos\widehat{BAD}$

$\Leftrightarrow \left(\dfrac{21}{4}\right)^2 = 6^2 + AD^2 - 2.6.AD.\cos60^\circ$

$\Leftrightarrow AD^2 - 6AD - \dfrac{135}{16} = 0$

$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}AD = \dfrac{12 - 3\sqrt{31}}{4}\quad (l)\\AD = \dfrac{12 + 3\sqrt{31}}{4}\quad (n)\end{array}\right.$

Vậy $AD =\dfrac{12 + 3\sqrt{31}}{4}$