Đáp án:

$A.\ \dfrac{2a\sqrt{39}}{13}$

Giải thích các bước giải:

Áp dụng định lý Pytago ta được:

$BC^2= AB^2 + AC^2$

$\Rightarrow BC=\sqrt{AB^2 + AC^2}=\sqrt{a^2 + 3a^2}$

$\Rightarrow BC = 2a$

Gọi $M$ là trung điểm $BC$

$\Rightarrow MA = MB = MC =\dfrac12BC = a$

Ta có:

$A'M\perp (ABC)$

$\Rightarrow A'M\perp MA$

Áp dụng định lý Pytago ta được:

$AA'^2 = A'M^2 + MA^2$

$\Rightarrow A'M =\sqrt{AA'^2 - MA^2}=\sqrt{4a^2 - a^2}$

$\Rightarrow A'M = a\sqrt3$

Từ $M$ kẻ $MN\perp AC$

$\Rightarrow NA = NC =\dfrac12AC$

$\Rightarrow MN$ là đường trung bình của $\triangle ABC$

$\Rightarrow MN=\dfrac12AB =\dfrac a2$

Ta có:

$A'M\perp (ABC)$

$\Rightarrow A'M\perp AC$

mà $MN\perp AC$

nên $AC\perp (A'MN)$

Trong $mp(A'MN)$ kẻ $MH\perp A'N$

$\Rightarrow AC\perp MH$

$\Rightarrow MH\perp (ACC'A')$

$\Rightarrow MH=d(M;(ACC'A'))$

Áp dụng hệ thức lượng trong $\triangle A'MN$ vuông tại $M$ đường cao $MH$ ta được:

$\dfrac{1}{MH^2}=\dfrac{1}{MN^2} +\dfrac{1}{MA'^2}$

$\Rightarrow MH =\dfrac{MN.MA'}{\sqrt{MN^2 + MA'^2}}$

$\Rightarrow MH =\dfrac{\dfrac a2\cdot a\sqrt3}{\sqrt{\dfrac{a^2}{4} + 3a^2}}$

$\Rightarrow MH = \dfrac{a\sqrt{39}}{13}$

Ta có:

$MB = MC =\dfrac12BC$

$\Rightarrow d(B;(ACC'A'))= 2d(M;(ACC'A'))= \dfrac{2a\sqrt{39}}{13}$

Ta lại có:

$BB'//CC'$

$\Rightarrow BB'//(ACC'A')$

$\Rightarrow d(BB';AC)= d(BB';(ABCD))= d(B':(ABCD))= \dfrac{2a\sqrt{39}}{13}$