Đáp án:

 a) Gọi điểm cố định (d1) luôn đi qua là $M\left( {x;y} \right)$

$\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow y = mx - m + 1\forall m\\
 \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right).m = y - 1\forall m\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x - 1 = 0\\
y - 1 = 0
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 1\\
y = 1
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow M\left( {1;1} \right)
\end{array}$

Vậy d1 luôn đi qua $M\left( {1;1} \right)$ với mọi giá trị của m

b) Xét pt hoành độ giao điểm của d2 và d3

$\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow 2x + 3 = x + 1\\
 \Leftrightarrow 2x - x = 1 - 3\\
 \Leftrightarrow x =  - 2\\
 \Leftrightarrow y = x + 1 =  - 2 + 1 =  - 1\\
 \Leftrightarrow {d_2} \cap {d_3} = \left( { - 2; - 1} \right)
\end{array}$

3 đường thẳng đồng quy thì d1 đi qua giao điểm của d2 và d3

$\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow \left( { - 2; - 1} \right) \in {d_1}\\
 \Leftrightarrow  - 1 = m.\left( { - 2} \right) - m + 1\\
 \Leftrightarrow  - 2m - m =  - 2\\
 \Leftrightarrow  - 3m =  - 2\\
 \Leftrightarrow m = \dfrac{2}{3}\\
Vậy\,m = \dfrac{2}{3}
\end{array}$