Đáp án:

$D.\ d = \dfrac{3a\sqrt7}{7}$

Giải thích các bước giải:

Gọi $M$ là trung điểm $BC$

$\Rightarrow \begin{cases}AM\perp BC\\AM = a\sqrt3\end{cases}$

Ta có:

$\begin{cases}(SBC)\cap (ABC) = BC\\AM\perp BC\\AM\subset (ABC)\\SM\perp BC\\SM\subset (SBC)\end{cases}$

$\Rightarrow \widehat{((SBC);(ABC))} = \widehat{SMA} = 60^\circ$

Gọi $O$ là tâm của đáy

$\Rightarrow \begin{cases}OM = \dfrac13AM = \dfrac{a\sqrt3}{3}\\SO\perp (ABC)\end{cases}$

Ta được:

$\begin{cases}SO = OM.\tan60^\circ = a\\SM = \dfrac{OM}{\cos60^\circ} = \dfrac{2a\sqrt3}{3}\end{cases}$

Áp dụng định lý $\cos$ ta được:

$SA^2 = SM^2 + AM^2 - 2SM.AM.\cos\widehat{SMA}$

$\Leftrightarrow SA^2 = \dfrac{4a^2}{3} + 3a^2 - 2\cdot \dfrac{2a\sqrt3}{3}\cdot a\sqrt3\cdot \cos60^\circ$

$\Leftrightarrow SA^2 = \dfrac{7a^2}{3}$

$\Rightarrow SA = \dfrac{a\sqrt{21}}{3}$

Trong $mp(SAM)$ kẻ $MH\perp SA$ ta được:

$SA.MH = SO.AM = 2S_{SAM}$

$\Leftrightarrow MH = \dfrac{SO.AM}{SA} = \dfrac{a.a\sqrt3}{\dfrac{a\sqrt{21}}{3}}$

$\Leftrightarrow MH=  \dfrac{3a\sqrt7}{7}$

Ta có:

$\begin{cases}SO\perp BC\\BC\perp AM\end{cases}$

$\Rightarrow BC\perp (SAM)$

$\Rightarrow BC\perp MH$

mà $MH\perp SA$

nên $MH$ là đoạn vuông góc chung giữa $SA$ và $BC$

hay $MH= d(SA;BC)$

Vậy $d(SA;BC) = \dfrac{3a\sqrt7}{7}$