$ a ) $ Gọi $ ƯCLN ( n + 1 ; 3n + 4 ) $ là $ d $ 

Ta có : $ n + 1 $ chia hết cho $ d → 3n + 3 $ chia hết cho $ d $ 

$ 3n + 4 $ chia hết cho $ d $ 

$ → ( 3n + 4 ) - ( 3n + 3 ) $ chia hết cho $ d $ 

$ 1 $ chia hết cho $ d $ 

$ → ƯCLN ( n + 1 ; 3n + 4 ) = 1 $

$ → đpcm $ 

$ b ) $ Gọi $ ƯCLN ( 2n + 1 ; 3n + 1 ) $ là $ d $

Ta có : $ 2n + 1 $ chia hết cho $ d → 6n + 3 $ chia hết cho $ d $ 

$ 3n + 1 $ chia hết cho $ d → 6n + 2 $ chia hết cho $ d $ 

$ → ( 6n + 3 ) - ( 6n + 2 ) $ chia hết cho $ d $

$ 1 $ chia hết cho $ d $

$ → ƯCLN ( 2n + 1 ; 3n + 1 ) = 1 $

$ → đpcm $

Đáp án:

 

Giải thích các bước giải:

 a) gọi d là ước chung lớn nhất của 2 số: n+1 và 3n + 4

với đề bài ta phải chứng minh d chỉ có thể = 1

vì d là ƯCLN(n+1; 3n+4)

=> n + 1 `vdots` d => 3(n+1) `vdots` d=> 3n + 3 `vdots` d

=> 3n + 4 `vdots` d

=> 3n+4 - (3n+3) `vdots` d

=> 1 `vdots` d

=> d chỉ có thể bằng 1 thì 1 mới có thể `vdots` cho d

=> n + 1 và 3n + 4 là 2 số nguyên tố cung nhau vì có ƯCLN = 1 => điều phải chứng minh

b) 2n + 1 và 3n +1

gọi d là ƯCLN (2n+1; 3n+1)

=> 2n + 1 `vdots` d => 3(2n+1) `vdots` d => 6n + 3 `vdots` d

=> 3n + 1 `vdots` d => 2(3n+1) `vdots` d => 6n + 2 `vdots` d

=> 6n + 3 - (6n + 2) `vdots` d

=> 1 `vdots` d

=> d chỉ co thể bằng 1 thì 1 mới có thể `vdots` cho d

Vậy 2n + 1 và 3n + 1 là 2 số nguyên tố cùng nhau vì có ƯCLN = 1 . => điều phải chứng minh