a) Xét $\Delta CAD$ và $\Delta CEA$ có:

$\widehat C$ chung

$\widehat{CAD}=\widehat{CEA}$ (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung, góc nội tiếp cùng chắn cung AD)

$\Rightarrow\Delta CAD\sim\Delta CEA$ (g.g)

$\Rightarrow\dfrac{CA}{CE}=\dfrac{CD}{CA}$ (hai cạnh tương ứng tỉ lệ)

$\Rightarrow CA^2=CD>CE$ (đpcm)

Do $H$ là trung điểm của DE nên $OH\bot DE$ (quan hệ giữa đường kính và dây cung)

$\Rightarrow\widehat{OHC}=90^o$

và có $\widehat{OAC}=90^o$ (do $AC$ là tiếp tuyến của (O))

$\Rightarrow AOHC$ nội tiếp đường tròn đường kính (OC)

Tâm của đường tròn đường kính (OC) là trung điểm của OC.

b) $\Delta ABC\bot $ cân đỉnh A

có K là giao của CB và (O) nên $K\in(O)$

$\Rightarrow\widehat{AKB}=90^o$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

$\Rightarrow AK\bot CB$

$\Rightarrow AK=KB\Rightarrow \Delta AKB$ vuông cân đỉnh K có KO là đường trung tuyến nên cũng là đường cao

$\Rightarrow KO\bot AB\Rightarrow \widehat{AOK}=90^o$

$S_{\text{quạt}AOK}=\dfrac{S_(O,R)}4=\dfrac{\pi R^2}{4}$

c) Qua E dựng đường thẳng song song với MN cắt AB tại $I$, cắt BD tại F

$\widehat{IEH}=\widehat{HCO}$ (hai góc ở vị trí so le trong)

$\widehat{HAO}=\widehat{HCO}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung OH của (OC))

$\Rightarrow\widehat{IEH}=\widehat{HAO}$

$\Rightarrow E, A$ cùng nhìn cạnh HI dưới hai góc bằng nhau nên $AHIE$ nội tiếp

$\Rightarrow\widehat{IHE}=\widehat{IAE}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung IE)

$\widehat{IAE}=\widehat{BDE}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung BE của (O))

$\Rightarrow\widehat{IHE}=\widehat{BDE}\Rightarrow IH//BD$

Có $H$ là trung điểm của DE nên $I$ là trung điểm của EF

$\Delta BOM$ có $IF//MO$ theo ta-lét ta có:

$\dfrac{IF}{OM}=\dfrac{BI}{BO}$ (1)

$\Delta BON$ có $IE//ON$ theo Ta-lét ta có:

$\dfrac{BI}{BO}=\dfrac{IE}{ON}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\dfrac{IF}{OM}=\dfrac{IE}{ON}$ mà $IE=IF$, I trung điểm của $EF$

$\Rightarrow OM=ON\Rightarrow O $ là trung điểm của $NM$