Lời giải:

a) Ta có:

$MA, MB$ lần lượt là tiếp tuyến của $(O)$ tại $A, B$

$\Rightarrow MA = MB$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Lại có: $OA = OB = R$

$\Rightarrow OM$ là trung trực của $AB$

$\Rightarrow OM\perp AB$ tại $H$

b) Ta có:

$AC$ là đường kính của $(O)$

$\Rightarrow \widehat{ADC} = 90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

$\Rightarrow AD\perp CD$

$\Rightarrow AD\perp MC$

Áp dụng hệ thức lượng trong $\triangle ACM$ vuông tại $A$, đường cao $AD$ ta được:

$AM^2 = MC.MD$

Áp dụng hệ thức lượng trong $\triangle OAM$ vuông tại $A$, đường cao $AH$ ta được:

$AM^2 = MO.MH$

Do đó:

$MC.MD = MO.MH\quad (=AM^2)$

$\Leftrightarrow \dfrac{MH}{MC} = \dfrac{MD}{MO}$

Xét $\triangle MHD$ và $\triangle MCO$ có:

$\begin{cases}\dfrac{MH}{MC} = \dfrac{MD}{MO}\quad (cmt)\\\widehat{M}:\ \text{góc chung}\end{cases}$

Do đó: $\triangle MHD \backsim \triangle MCO\ (c.g.c)$