a) Xét $\Delta AMB$ và $\Delta CND$ ta có:

$BM=DN(=\dfrac{1}{3}BD)$

$\widehat{ABM}=\widehat{CDN}$ (so le trong)

$AB=CD$

$\Rightarrow $ $\Delta AMB=\Delta CND$

b) $\Delta AMB=\Delta CND$

$\Rightarrow AM=NC$ (1)

Tương tự xét $\Delta BMC$ và $\Delta DNA$ ta có:

$BM=DN(=\dfrac{1}{3}BD)$

$\widehat{MBC}=\widehat{NDA}$ (so le trong)

$BC=DA$

$\Rightarrow $ $\Delta BMC=\Delta DNA$

$\Rightarrow MC=NA$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $AMCN$ là hifnhbifnh hành.

c) $\Delta ABC$ có $O$ là trung điểm $AC$

$\Rightarrow BO$ là đường trung tuyến

Mà $BM=\dfrac{1}{3}BD$

$BO=\dfrac{1}{2}BD$

$\Rightarrow \dfrac{BM}{BO}=\dfrac{2}{3}$

$\Rightarrow M$ là trọng tâm $\Delta ABC$

$\Rightarrow AM$ là trung tuyến

$\Rightarrow I$ là trung điểm của $BC$

$\Rightarrow \dfrac{AM}{AI}=\dfrac{2}{3}$

$\Rightarrow \dfrac{AM}{AI-AM}=\dfrac{2}{3-2}$

$\Rightarrow \dfrac{AM}{MI}=2$

$\Rightarrow AM=2MI$

d) Chứng minh tương tự $\Delta ACD$ có $N$ là trọng tâm

$\Rightarrow K$ là trung điểm của $AD$

Suy ra $AK\parallel=CI(\parallel=\dfrac{1}{2}AD)$

$\Rightarrow AICK$ là hình bình hành

$\Rightarrow $ 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường

$O$ là trung điểm $AC$

$\Rightarrow O$ là trung điểm của $KI$

$\Rightarrow I$ và $K$ đối xứng với nhau qua $O$