$\frac{ x^{2}+x+1}{2}$
= $\frac{x^{2} + 2.\frac{1}{2}.x+\frac{1}{4} +\frac{3}{4}}{2}$
= $\frac{(x+\frac{1}{2}) ^{2} +\frac{3}{4} }{2}$
Vì $(x+\frac{1}{2}) ^{2}$ $\geq$ 0   ∀x
=> $(x+\frac{1}{2}) ^{2}$ +$\frac{3}{4}$ $\geq$ $\frac{3}{4}$  ∀x
=> $x^{2}$ +x+1 $\geq$ $\frac{3}{4}$  ∀x
Giả sử tử min = $\frac{3}{4}$  (tử càng bé thì phân số càng bé)
<=> $\frac{\frac{3}{4}}{2}$ 
<=> $\frac{3}{8}$ >0
Vậy $\frac{ x^{2}+x+1}{2}$ >0 (đfcm)

$#QLinkVN$

Ký hiệu `∀x` : với mọi `x`

Ta có: 

`x^{2}+x+\frac{1}{2}`

`=x^{2}+2.x.\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}`

`=(x^{2}+2.x.\frac{1}{2}+\frac{1}{4})+\frac{1}{4}`

`=(x+\frac{1}{2})^{2}+1/4`

Do `(x+\frac{1}{2})^{2}>0` `∀x`

`⇒(x+\frac{1}{2})^{2}+\frac{1}{4}>\frac{1}{4}` `∀x`

`⇔(x+\frac{1}{2})^{2}+\frac{1}{4}>0` (đpcm)