Giải thích các bước giải:

a.Ta có :
$M,N$ là điểm chính giữa cung AC,BC
$\to AN,BM$ là phân giác $\widehat{CAB},\widehat{CBA}\to I$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABC$

b.Gọi $ON\cap BC=E$

Vì N nằm chính giữa cung BC $\to ON\perp BC$
Mà $AC\perp CB\to DC\perp CE, ND\perp AC\to DNEC$ là hình chữ nhật $\to DN\perp EN$
$\to DN\perp ON\to DN$ là tiếp tuyến của (O)

c.Ta có : $AC//NP(\perp BC)$

Vì $ACNP$ nội tiếp , $CDNE $ là hình chữ nhật

$\to\widehat{DEN}=\widehat{DCN}=\widehat{APN}\to DE//AP\to ADEP$ là hình bình hành

d.Gọi $OM\cap AC=G\to OG\perp AC$

Mà $AC\perp BC, ON\perp CB\to CEOG$ là hình chữ nhật

$\to OM\perp ON$ mà $OM=ON\to \Delta OMN$ vuông cân tại O

Gọi F là trung điểm MN
$\to OF=\dfrac{ON}{\sqrt{2}}=\dfrac{R}{\sqrt{2}}, OF\perp MN$

$\to MN$ là tiếp tuyến của (O,OF) hay $(O,\dfrac{R}{\sqrt{2}})$ là đường tròn cố định