Đáp án: `B.\sqrt{61}/8`

Giải thích các bước giải:

Gọi `M,N` lần lượt là trung điểm của `AC,AB`

`\triangleABC` đều cạnh bằng `1`

`Rightarrow CN\botAB, BM\botAC` và `BM=CN=\sqrt{3}/2`

Gọi `H` là hình chiếu của `S` xuống `BC`

Mặt phẳng`(SBC)` vuông góc với `(ABC)`

`Rightarrow SH\bot(ABC)`

Trong `(ABC)`, qua `H` kẻ `HE` song song với `CN` `(E\inAB)`

`Rightarrow HE\botAB`  và `{HE}/{CN}={BH}/{BC}`

`Rightarrow HE={BH.CN}/{BC}=BH.\sqrt{3}/2`

Trong `(ABC)`, qua `H` kẻ `HK` song song với `BM` `(K\inAC)`

`Rightarrow HK\botAC` và `{HK}/{BM}={CH}/{CB}`

`Rightarrow HK={CH.BM}/{BC}=CH.\sqrt{3}/2`

`Rightarrow HE+HK=BH.\sqrt{3}/2+CH.\sqrt3/2=(BH+CH).\sqrt3/2=\sqrt3/2`

Ta có:

$\begin{cases} HE\bot AB\\SH\bot AB\end{cases}$ `RightarrowAB\bot (SHE) RightarrowSE\bot AB`

Mặt phẳng `(SAB)` tạo với đáy góc `60^o Rightarrow \hat{SEH}=60^o`

`Rightarrow cot\hat{SEH}={HE}/{SH}=cot60^o=\sqrt3/3`

`Rightarrow HE=SH.\sqrt3/3`

$\begin{cases} HK\bot AC\\SH\bot AC \end{cases} \Rightarrow AC\bot (SHK) \Rightarrow SK\bot AC$

Mặt phẳng `SAC` tạo với đáy góc `30^o Rightarrow\hat{SKH}=30^o`

`Rightarrow cot\hat{SKH}={HK}/{SH}=cot30^o=\sqrt3`

`Rightarrow HK=SH.\sqrt3`

`Rightarrow HE+HK=SH.\sqrt3/3+SH.\sqrt3={4\sqrt3}/3.SH=\sqrt3/2`

`Rightarrow SH=3/8`

`RightarrowHE=3/8.\sqrt3/3=\sqrt3/8`

`RightarrowSE=2.HE=\sqrt3/4`

Tam giác `HBE` vuông tại `E` có `\hat{HBE}=60^o`

`Rightarrow BE=HE.cot\hat{HBE}=\sqrt3/8.cot30^o=1/8`

`Rightarrow AE=AB-BE=1-1/8=7/8`

`RightarrowSA=\sqrt{SE^2+AE^2}=\sqrt{(\sqrt3/4)^2+(7/8)^2}=\sqrt{61}/8`

Ta có:

`S_{\triangleSAB}=1/2.SE.AB=1/2.d_{(B,SA)}.SA`

`Rightarrow 1/2.\sqrt3/4. 1=1/2.d_{(B,SA)}.\sqrt61/8`

`Rightarrow d_{(B,SA)}={2\sqrt{183}}/61`

Ta có:

`sin(\hat{(SAC),(ABC)})=sin30^o={d_{(B,(SAC))}}/{d_{(B,AC)}}`

`Rightarrowd_{(B,(SAC))}=d_{(B,AC)}.sin30^o=\sqrt3/2. 1/2=\sqrt3/4`

`Rightarrow sin\varphi={d_{(B,(SAC))}}/{d_{(B,SA)}}`$=\dfrac{\dfrac{\sqrt3}{4}}{\dfrac{2\sqrt{183}}{61}}=\dfrac{\sqrt{61}}{8}$