$\textit{Đáp án + Giải thích các bước giải:}$

Xét $ΔABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$ có đường kính $AB$

$⇒ΔABC$ vuông tại $C$

$⇒BC⊥AC$

Mà $OH⊥AC$ $(gt)$

$⇒OH//BC$

Xét $ΔABC$ có

$OH=BC$ $(cmt)$

$OA=OB=R$

$⇒HA=HC$

$⇒OH$ là đường trung bình của $ΔABC$

$⇒OH=$`1/2BC=1/2R`

$⇒ΔBOC$ là tam giác đều

$⇒\widehat{B}=60^0$

Vậy `OH=1/2R` và $\widehat{B}=60^0$

$b)$ có $OA=OC=R$

$⇒ΔOAC$ cân tại $O$ 

mà $OH$ là đường cao 

$⇒OH$ là đường phân giác

$⇒\widehat{AOH}=\widehat{BOH}$

Xét $ΔOAD$ và $OCD$ có

$OA=OC=R$

$\widehat{AOH}=\widehat{BOH}$ $(cmt)$

$OD$ chung

$⇒ΔOAD=ΔOCD$ $(c.g.c)$

$⇒\widehat{OAD}=\widehat{OCD}$ (cặp cạnh tương ứng)

Có $\widehat{OAD}=90^0$ 

$⇒\widehat{OCD}=90^0$

$⇒OC⊥CD$

$⇒DC$ là tiếp tuyến của $(O)$

$c)$ $\widehat{OAD}=90^0$

$⇒ΔOAD$ vuông tại $A$

có $OH⊥OA$ $(gt)$

$⇒AH⊥OD$ ($D$ nằm trên $OH$; $H$ nằm trên $AC$)

$⇒AD^2=DH.DO$ 

Có $\widehat{DAB}=90^0$

$⇒ΔDAB$ vuông tại $A$

$ΔABE$ vuông tại $E$ (do nội tiếp đường tròn $(O)$ và đường kính $AB$)

$⇒AE⊥BE$

$⇒AE⊥BD$ ($D$ nằm trên $BE$)

$⇒AD^2=DE.DB$ 

$⇒DH.DO=DE.DB$

$⇒$ `(DH)/(DB)=(DE)/(DO)`

Xét $ΔEDH$ và $ΔBOD$ có

`(DH)/(DB)=(DE)/(DO)` $(cmt)$

$\widehat{D}$ chung

$⇒ΔEDH~ΔBOD$

$⇒\widehat{DEH}=\widehat{BOD}$ (cặp cạnh tương ứng)

$⇒\widehat{DEH}=\widehat{BOH}$ ($H$ nằm trên $OD$)

Mà $\widehat{DEH}+\widehat{BEH}=180^0$ (kề bù)

$⇒\widehat{BOH}+\widehat{BEH}=180^0$

mà hai góc này ở vị trí đối nhau

$⇒$ tứ giác $EHOB$ nội tiếp