a. Vì MA,MB là tiếp tuyến của (O)
$\to \widehat{MAO}=\widehat{MBO}=90^o$

Tứ giác $AOBM$ có $\widehat{MAO}+\widehat{MBO}=180^o$
nên $\to A,O,B,M\in $ đường tròn đường kính (OM)

$\to \Diamond AOBM$ nội tiếp đường tròn đường kính OM

Tâm $ G$ là trung điểm OM

b. Vì MA là tiếp tuyến của (O)
$\to\widehat{MAC}=\widehat{MDA}$ (góc tạo bởi tiếp tuyến, dây cung và góc nội tiếp cùng chắn cung AC)

và $\widehat M$ chung

$\to\Delta MAC\sim\Delta MDA(g.g)$

$\to\dfrac{MA}{MD}=\dfrac{MC}{MA}\to MA^2=MC.MD$

c. Vì I là trung điểm CD $\to OI\perp CD$

$\to OI\perp MI\to I\in$ đường tròn đường kính OM

$\to I\in (G)$

$\to M,A,O,I,B\in (G)$

d. Vì $MA,MB$ là tiếp tuyến của (O)

Nên $MA=MB,MO$ là phân giác $\widehat{AMB}$
$\to \Delta MAB$ có $MO$ vừa là phân giác vừa là đường cao.

$\Rightarrow MO\bot AB$

Áp dụng hệ thức lượng vào $\Delta AMO\bot A$ đường cao AH có:

$\to MA^2=MH.MO$ (kết hợp b)

$\to MH.MO=MC.MD$
$\to \dfrac{MC}{MO}=\dfrac{MH}{MD}$

$\widehat M$ chung

$\to\Delta MCH\sim\Delta MOD(c.g.c)$

$\to\widehat{MHC}=\widehat{MDO}=\widehat{CDO}$

$\to CHOD$ nội tiếp

e. Gọi $CD\cap AB=F\to \widehat{AFI}=\widehat{ABE}$ vì $CD//BE$ hai góc ở vị trí đồng vị

Ta có : $A,M,B,O,I\in (G)$
$\to\widehat{AIC}=\widehat{AIM}=\widehat{AOM}=\dfrac12\widehat{AOB}=\widehat{AEB}$

$\to\widehat{AIF}=\widehat{AEB}$

$\to \Delta AIF\sim\Delta AEB(g.g)$
$\to\widehat{IAF}=\widehat{EAB}=\widehat{EAF}\to A,I,E$ thẳng hàng.