Đáp án:

`a) HB=CK.`

`b)\hat{AHB}=\hat{AKC}.`

`c)`$HK//DE.$

`d)ΔAHE=ΔAKD.`

`e)AI⊥DE.

Giải thích các bước giải:

`a)` Xét `ΔABC` cân tại `A` có:

- `AB=AC`

- `\hat{ABC}=\hat{ACB}`

Lại có: `\hat{ABC}=\hat{HBD}, \hat{ACB}=\hat{KCE}` (vì là các góc đối đỉnh)

`⇒\hat{HBD}=\hat{KCE}.`

Xét `ΔBHD` và `ΔCKE` có:

- `BD=CE`$ (gt) $

- `\hat{HBD}=\hat{KCE}` $(cmt)$

- `\hat{DHB}=\hat{EKC}=90^0`$ (gt) $

`⇒ΔBHD=ΔCKE(ch-gn)`

`⇒BH=CK (dpcm)`

Vậy `HB=CK.`

`b)` Xét `ΔABH` và `ΔACK` có:

- `AB=AC` $(gt)$

- `BH=CK` $(cmt)$

- `\hat{ABH}=\hat{ACK}` (cùng bù với hai góc bằng nhau là: `\hat{ABC}` và `\hat{ACB}`)

`⇒ΔABH=ΔACK (c-g-c)`

`⇒\hat{AHB}=\hat{AKC}, \hat{BAH}=\hat{CAK} .` (hai góc tương ứng)

Vậy `\hat{AHB}=\hat{AKC}(dpcm).`

`c)` Xét `ΔABC` cân tại `A` có:

`⇒\hat{ABC}=\hat{ACB}={180^0-\hat{CAB}}/2`

Ta có: `AB=AC, BD=CE`

`⇒AB+BD=AC+CE`

`⇔AD=AE.`

`⇒ΔADE` cân tại `A`

`⇒\hat{ADE}=\hat{AED}={180^0-\hat{CAB}}/2`

Có: `\hat{ADE}=\hat{ABC}, \hat{ACB}=\hat{AED}(={180^0-\hat{CAB}}/2)`

Mà các góc ở vị trí đồng vị.

$⇒BC//ED$. Mà `H∈BC, K∈BC`

$⇒HK//ED.$

Vậy $⇒HK//ED(dpcm).$

`d)` Có `\hat{BAH}=\hat{CAK}`$(cmt)$

`⇒\hat{BAH}+\hat{BAE}=\hat{CAK}+\hat{BAE}`

`⇔\hat{HAE}=\hat{KAD}.`

Xét `ΔAHE` và `ΔAKD` có:

- `\hat{HAE}=\hat{KAD}` $(cmt)$

- `AH=AK` (do `ΔABH=ΔACK`$(cmt)$)

- `AD=AE` $(cmt)$

`⇒ΔAHE=ΔAKD(c-g-c)`

Vậy `ΔAHE=ΔAKD(dpcm).`

`e)` Có: `ΔAHE=ΔAKD`$(cmt)$

`⇒ \hat{AEH}=\hat{ADK}` (hai góc tương ứng)

Mà: ` \hat{HDB}=\hat{KEC}`$(cmt)$

`⇒\hat{AEH}+ \hat{KEC}=\hat{ADK}+\hat{HDB}`

`⇔\hat{HDI}=\hat{KEI}`

Mà: `HD⊥BC, EK⊥BC`$⇒HD//EK$

`⇒\hat{HDI}=\hat{IKE}` (hai góc so le trong)

`⇒\hat{DHI}=\hat{IEK}` (hai góc so le trong)

`⇒\hat{HDI}=\hat{KEI}=\hat{IKE}=\hat{DHI}`

`⇒ΔHID` cân tại `I`, `ΔKIE` cân tại `I`.

`⇒HI=ID, IK=IE.`

Xét `ΔHID` và `ΔEIK` có:

-`HD=EK` $(cmt)$

-`\hat{HDI}=\hat{IKE}` $(cmt)$

-`\hat{DHI}=\hat{IEK}`$(cmt)$

`⇒ΔHID =ΔEIK (g-c-g)`

`⇒ID=IK,  IH=IE.` (hai cạnh tương ứng)

Lại có: `HI=ID, IK=IE.`$(cmt)$

`⇒ID=IK=IH=IE`

`⇒ΔIED` cân tại `I ⇔ID=IE.`

`⇒I` thuộc đường trung trực của `DE`
Lại có: `AD=AE` (`ΔADE` cân tại `A`$(cmt)$)

`⇒A` thuộc đường trung trực của `DE`

`⇒ AI` là đường trung trực của `DE.`

`⇒AI ⊥DE.`
Vậy `AI ⊥DE`$(dpcm)$.

 Hình tham khảo: