Giải thích các bước giải:

a. Vì AM, AN là tiếp tuyến của (O)

$\to AM\perp OM, AN\perp ON\to\widehat{ANO}=\widehat{AMO}=90^o$

$\Rightarrow N, M$ thuộc đường tròn đường kính $(AO)$

$\to A,M,O,N$ cùng thuộc đường tròn đường kính (OA)

Mà I là trung điểm BC $\to OI\perp AI\to\widehat{AIO}=90^o\to I\in $ đường tròn đường kính OA

$\to $ 4 điểm A,M,O ,I cùng thuộc một đường tròn đường kính $(AO)$

b. Từ câu a $\to A, M, I,O,N$ cùng thuộc một đường tròn đường kính $(OA)$

$\to\widehat{AMN}=\widehat{AIN}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung AN của đường tròn (AO)) (1)

c. Ta có: $AM ,NA$ là tiếp tuyến của (O) nên $AM=AN\to\Delta AMN$ cân đỉnh A
$\to \widehat{ANM}=\widehat{AMN}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\widehat{ANM}=\widehat{AIN}$

Xét $\Delta ANE$ và $\widehat{AIN}$ có:

$\widehat A$ chung

$\widehat{ANE}=\widehat{AIN}$ (chứng minh trên)

$\to\Delta ANE\sim\Delta AIN$ (g.g)
$\to\dfrac{AN}{AI}=\dfrac{AE}{AN}\to AE.AI=AN^2$ (3)

Xét $\Delta ANB$ và $\Delta ACN$ có:

$\widehat A$ chung
$\to \widehat{ANB}=\widehat{ACN}$ (góc tạo bởi tiếp tuyến, dây cung và góc nội tiếp cùng chắn cung AN của (O))

$\to\Delta ANB\sim\Delta ACN(g.g)$
$\to\dfrac{AN}{AC}=\dfrac{AB}{AN}\to AN^2=AB.AC$ (4)

Từ (3) và (4) $\to AB.AC=AE.AI$.