a.Xét ΔABC và Δ DBC có 

          AB=BD

          BC chung

          AC=DC

  ⇒ΔABC = ΔDBC (c,c,c)

b.Có ΔABC = ΔDBC 

    ⇒∠BAC = ∠BDC (2 góc t/ư)

   mà ∠BAC =90

    ⇒∠BDC=90

  lại có ∠BAC và ∠BDC đối nhau

    ⇒∠BAC + ∠BDC = 180

    Có tứ giác ABDC nội tiếp đường tròn 

  ⇔ ∠BAC + ∠BDC = 180 (cmt)

vậy ...

c.∠MAB=∠ CAN(cùng phụ với góc vuông có chung góc ∠BAN ) (1)

VÌ tam giác MBA cân tại M

=>∠MAB=∠AMB (2)
tam giác ACN cân tại C

=> ∠CAN=∠ANC (3)
kết hợp (1) , (2) ,(3)

=> ∠MAB=∠AMB=∠CAN=∠ANC

Có ∠BAD=∠DNA [ góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắc cung AD (C; AC) 
ta có : MAB^+BAD^+DAN^=90MAB^+BAD^+DAN^=90
<=> AMB^+DNA^+BAD^AMB^+DNA^+BAD^ = 90
vì Δ AMN ⊥tại A => DAN^=BDM^DAN^=BDM^
vì Δ CDN cân tại C => DNC^=CDN^DNC^=CDN^
<=> MDC^=BDC^+MDB^+DNC^MDC^=BDC^+MDB^+DNC^=
90+ BMD^+ANC^+AMB^BMD^+ANC^+AMB^ = 180

=>đpcm
d.để NM lớn nhất thì AM , AN là bán kính của (B) , (C)

vì MN²=AM²+AN²