Giả sử mỗi số $x$ ta tính được $A=m$ ta xem $m$ chạy trên tập nào. Khi đó phương trình sau đây có nghiệm $x$

$\frac{x^2+2x-1}{x^2+1}=m$ 

⇔ $x^2+2x-1=m(x^2+1)$

⇔ $x^2+2x-1=mx^2+m$

⇔ $(1-m)x^2+2x-1-m=0$ $(1)$

Vì phương trình có nghiệm theo $x$ nên phương trình $(1)$:

  $Δ' ≥ 0$

⇔ $1^2-(-1-m)(1-m) ≥ 0$

⇔ $1+(1+m)(1-m) ≥ 0$

⇔ $1+1-m^2 ≥ 0$

⇔ $2≥m^2$

⇔ $-\sqrt[]{2}$ $\leq$ $m$ $\leq$ $\sqrt[]{2}$ 

Kết luận:

GTLN của $A$ là $\sqrt[]{2}$ khi   $Δ' = 0$ ⇒ $x=\frac{-b'}{a}=$ $\frac{-1}{1-\sqrt[]{2}}=\sqrt[]{2}+1$ 

GTNN của $A$ là $-\sqrt[]{2}$ khi   $Δ' = 0$ ⇒ $x=\frac{-b'}{a}=$ $\frac{-1}{1+\sqrt[]{2}}=\sqrt[]{2}-1$ 

Đáp án:

GTNN A=1/3 khi x=1

GTLN A=3 khi x=-1

Giải thích:

ĐK tồn tại A với mọi x

A= x²−x+1/x²+x+1 = x²+x+1−2x/x²+x+1 = 1+ −2x/x²+x+1 = 1+B (*)

Thay vì tìm GTNN & LN của B ta đi tìm GTNN,LN của B

B= −2x/x²+x+1

Tìm Max2 B=2−      −2x/x²+x+1  =  2x²+2x+2+2x/x²+x+1 = 2(x²+2x+1)/x²+x+1  

= 2(x + 1)²/(x + 1/2)² + 3/4 ⇒≥ 0

=>2−B≥0⇒B≤2⇒A≤2+1=3 đẳng thức khi Tim Min

B+ 2/3 = −2x/x² + x + 1 + 2/3  ⇔ −6x + 2x² + 2x + 2/3(x²+x+1) = 2(x² − 2x + 1)/3(x² + x + 1)

= 2(x − 1)²/3[(x + 1/2)2 + 3/4] ⇒≥0

B  +2/3 ≥ 0 ⇒ B≥ − 2/3 ⇒ A≥1 − 2/3 = 1/3 đẳng thức khi x=-1

⇒ Vậy

GTNN A=1/3 khi x=1

GTLN A=3 khi x=-1