Đáp án:

$a)\quad y = (C_1 + C_2x)e^x + x^2e^x$

$b)\quad y = C_1e^x + C_2e^{2x} + (x +2)e^{-x}$

Giải thích các bước giải:

$a)\quad y'' - 2y' + y = 2e^x\qquad (*)$

Phương trình đặc trưng:

$\quad k^2 - 2k + 1 =0$

$\Leftrightarrow (k-1)^2 =0$

$\Leftrightarrow k = 1$

Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng có dạng:

$y = (C_1 + C_2x)e^x$

Ta có, vế phải của $(*)$ có dạng: $2e^{1x}$

$\Rightarrow \alpha = 1$

Do đó một nghiệm riêng của $(*)$ có dạng:

$y = C.x^2e^x$

$\Rightarrow y' = C.x e^x(x + 2)$

$\Rightarrow y'' = C.e^x(x^2 + 4x + 2)$

Thay vào $(*)$ ta được:

$C.e^x(x^2 + 4x + 2) - 2C.x e^x(x + 2) + C.x^2e^x = 2e^x$

$\Leftrightarrow 2C = 2$

$\Leftrightarrow C = 1$

$\Rightarrow y = x^2e^x$ là một nghiệm riêng của $(*)$

Vậy nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là:

$y = (C_1 + C_2x)e^x + x^2e^x$

$b)\quad y'' - 3y' + 2y = (6x + 7)e^{-x}\qquad (**)$

Phương trình đặc trưng:

$\quad k^2 - 3k + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}k = 1\\k = 2\end{array}\right.$

Do nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng có dạng:

$y= C_1e^x + C_2e^{2x}$

Ta có, vế phải của $(**)$ có dạng: (6x + 7).e^{-1x}$

$\Rightarrow \alpha = -1$

Do đó một nghiệm riêng của $(**)$ có dạng:

$y = (Ax + B)e^{-x}$

$\Rightarrow y' = e^{-x}(-Ax + A - B)$

$\Rightarrow y'' = e^{-x}(Ax - 2A + B)$

Thay vào $(**)$ ta được:

$e^{-x}(Ax - 2A + B) - 3e^{-x}(-Ax + A - B) + 2(Ax + B)e^{-x} = (6x + 7)e^{-x}$

$\Leftrightarrow 6Ax - 5A + 6B = 6x + 7$

$\Leftrightarrow \begin{cases}A = 1\\B = 2\end{cases}$

Do đó $y = (x +2)e^{-x}$ là một nghiệm riêng của $(**)$

Vậy nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là:

$y = C_1e^x + C_2e^{2x} + (x +2)e^{-x}$