$\\$

Gọi `CO,BK,AV` là đường cao của `\triangle ABC`

Gọi `T` đối xứng `H` qua `M`

`\triangle AOH` vuông tại `O` có :

`AH^2 = AO^2 + HO^2` (Pytago) 

`\triangle BOC` vuông tại `O` có :

`BC^2 = BO^2 + CO^2` (Pytago)

Cộng theo vế ta được :

`AH^2+BC^2=AO^2+BO^2 + CO^2 + OH^2` (1)

`\triangle BHO` vuông tại `O` có :

`BO^2 + OH^2 = BH^2` (Pytago)

`\triangle AOC` vuông tại `O` có :

`AO^2 + OC^2 = AC^2` (Pytago)

Cộng theo vế ta được :

`BH^2+AC^2=AO^2 + BO^2 + OH^2 + CO^2` (2)

(1)(2) `=> AH^2 +BC^2 = AC^2 + BH^2`

Khá dễ dàng chứng minh được `BHCT` là hình bình hành

`=>` $BH//CT$ và $BH=CT$

$BH=CT$ (cmt)

`=>AH^2 +BC^2 = AC^2 + CT^2`

$BK//CT, BK\bot AC$ (cmt)

`=>AC\bot CT`

`\triangle ACT` vuông tại `C` có :

`AC^2 +CT^2 = AT^2` (Pytago)

`=> AH^2 + BC^2 = AT^2`

`AMHN` là hình bình hành (gt)

`=>` $AN//HM$ và `AN=HM`

`AN=HM, HM=MT` (cmt)

`=>AN=MT`

Tứ giác `ANMT` có : $AN//MT, AN=MT$ (cmt)

`<=>ANMT` là hình bình hành

`=>AT=MN`

`=> AH^2+BC^2=MN^2`