a)

Do $I$ là trung điểm của $MN\Rightarrow OI\bot MN$ $(\Delta OMN$ cân đỉnh O, OI là trung tuyến$)$

$\Rightarrow \widehat{OIA}=90^o$

$\widehat{OCA}=90^o$ (do $AC$ là tiếp tuyến của (O))

$\Rightarrow$ tứ giác $AIOC$ có: $\widehat{OIA}+\widehat{OCA}=180^o$ mà chúng ở vị trí đối nhau nên $AIOC$ nội tiếp đường tròn đường kính $(OA)$ (đpcm)

b) Xét $\Delta ABM$ và $\Delta ANB$ có:

$\widehat A $ chung

$\widehat{ABM}=\widehat{ANB}$ (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung, và góc nội tiếp cùng chắn cung $BM$)

$\Rightarrow\Delta ABM\sim\Delta ANB$ (g.g)

$\Rightarrow\dfrac{AB}{AN}=\dfrac{AM}{AB}$ (hai cạnh tương úng tỉ lê)

$\Rightarrow AB^2=AM.AN$ (1)

$\Delta OBC$ cân đỉnh O có OA là tia phân giác của $\widehat{BOC}$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

$\Rightarrow OA$ cũng là đường cao nên $OA\bot BC$

$\Delta ABO\bot B$ có $BH\bot OA$

$\Rightarrow AB^2=AH.AO$ (hệ thức lượng) (2)

Từ (1) và (2) suy ra $AH.AO=AM.AN$ (đpcm)

$\Rightarrow \dfrac{AH}{AN}=\dfrac{AO}{AM}$ 

Xét $\Delta AHM$ và $\Delta ANO$ có:

$\widehat A$ chung

$\dfrac{AH}{AN}=\dfrac{AM}{AO}$

$\Rightarrow\Delta AHM\sim\Delta ANO$ (c.g.c)

$\Rightarrow\widehat{AHM}=\widehat{ANO}$ (hai góc tương ứng bằng nhau)

$\Rightarrow\widehat{ONM}+\widehat{OHM}=\widehat{MHA}+\widehat{OHM}=180^o$ mà chúng ở vị trí đối nhau

$\Rightarrow MNOH$ nội tiếp. (đpcm)