a) Ta có: $HD\perp AB\,(gt)$

$HE\perp AC \, (gt)$

$\Rightarrow \widehat{HDA} = \widehat{HEA} = 90^o$

Xét tứ giác $ADHE$ có:

$\widehat{A} = \widehat{D} = \widehat{E} = 90^o$

Do đó $ADHE$ là hình chữ nhật

$\Rightarrow \begin{cases}\widehat{HED} = \widehat{AHE}\\\widehat{HDE} = \widehat{AHD}\end{cases}$

Xét $ΔHDB$ vuông tại $D$ có:

$M$ là trung điểm cạnh huyền $BH$ $(gt)$

$\Rightarrow MB = MC = MH$

$\Rightarrow ΔMDH$ cân tại $M$

$\Rightarrow \widehat{MDH} = \widehat{MHD}$

Ta được:

$\widehat{MDE} = \widehat{MDH} + \widehat{HDE} = \widehat{MHD} + \widehat{AHD} = \widehat{AHM} = 90^o$

$\Rightarrow MD\perp DE$

Chứng minh tương tự ta được: $NE\perp DE$

Do đó $MDEN$ là hình thang vuông tại $D$ và $E$

b) Ta có: $ADHE$ la hình chữ nhật (chứng minh ở câu a)

$P = DE \cap AH \, (gt)$

$\Rightarrow PA = PD = PH = PE$

Ta lại có: $QM = QN \, (gt)$

$\Rightarrow PQ$ là đường trung bình của hình thang $MDEN$

$\Rightarrow PQ//MD//DE$

mà $MD\perp DE$

nên $PQ\perp DE$

c) Do $PQ$ là đường trung bình của hình thang $MDEN$

nên $PQ = \dfrac{1}{2}(MD + NE)$

$\Rightarrow 2PQ = MD + NE$