Đáp án:

$D.\ \arcsin\sqrt{\dfrac23}$

Giải thích các bước giải:

Gọi $O$ là tâm của đáy

$\Rightarrow SO\perp (ABCD)$

Gọi $M$ là trung điểm $BC$

$\Rightarrow \begin{cases}OM\perp BC\\SM\perp BC\end{cases}$

$\Rightarrow \widehat{((SBC);(ABCD))}=\widehat{SMO}$

Kẻ $OH\perp SM$

Ta có:

$\begin{cases}BC\perp SM\\SO\perp BC\end{cases}$

$\Rightarrow BC\perp (SOM)$

$\Rightarrow BC\perp OH$

$\Rightarrow OH\perp (SBC)$

$\Rightarrow OH = d(O;(SBC))$

Lại có:

$OA =\dfrac12AC$

$\Rightarrow d(O;(SBC))=\dfrac12d(A;(SBC))= a$

Đặt $OM = x\quad (x> 0)$

$\Rightarrow BC = 2OM = 2x$

$\Rightarrow S_{ABCD}= 4x^2$

Áp dụng hệ thức lượng trong $\triangle SOM$ vuông tại $O$ đường cao $OH$ ta được:

$\quad \dfrac{1}{OH^2}=\dfrac{1}{SO^2} +\dfrac{1}{OM^2}$

$\Rightarrow SO =\dfrac{OH.OM}{\sqrt{OM^2 - OH^2}}$

$\Rightarrow SO =\dfrac{ax}{\sqrt{x^2 - a^2}}$

Ta được:

$\quad V =\dfrac13S_{ABCD}.SO = \dfrac{4ax^3}{3\sqrt{x^2 - a^2}}$

Đặt $V = f(x)= \dfrac{4ax^3}{3\sqrt{x^2 - a^2}}$

$\Rightarrow f'(x)= \dfrac{4ax^2(2x^2 - 3a^2)}{3\sqrt{(x^2-a^2)^3}}$

$f'(x)= 0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x = 0\\x = \pm \dfrac{a\sqrt6}{2}\end{array}\right.$

Trên $(0;+\infty)$ ta được:

$\min f(x) = f\left(\dfrac{a\sqrt6}{2}\right) \Leftrightarrow x =\dfrac{a\sqrt6}{2}$

Khi đó:

$OM = x = \dfrac{a\sqrt6}{2}$

$SO = \dfrac{ax}{\sqrt{x^2 - a^2}} = a\sqrt3$

$SM =\sqrt{SO^2 + OM^2}= \dfrac{3a\sqrt2}{2}$

$\Rightarrow \sin\widehat{SMO}=\dfrac{SO}{SM}= \sqrt{\dfrac{2}{3}}$

$\Rightarrow \widehat{SMO}=\arcsin\sqrt{\dfrac23}$