$\\$

`a,`

Kẻ đường cao `AK`

`\triangle ABC` đều nên `AK` là đường trung tuyến

`=>K` là trung điểm của `BC`

`=>BK=1/2 BC = 1/2 . 4=2cm`

`\triangle AKB` vuông tại `K` có :

`AK^2 + BK^2=AB^2` (Pytago)

`=> AK^2=AB^2-BK^2=4^2-2^2=(2\sqrt{3})^2`

`=>AK=2\sqrt{3}`

`S_{\triangle ABC}=1/2 . AK . BC = 1/2 . 2\sqrt{3} . 4=4\sqrt{3}cm^2`

Vậy `S_{\triangle ABC}=4\sqrt{3}cm^2`

`b,`

Kẻ `MO\bot AB, NV\bot AB, MU\bot NV`

`hat{AVN}+hat{ANV}=90^o`

`=>hat{ANV}=90^o-60^o=30^o`

`\triangle AVN` vuông tại `V` có `hat{ANV}=30^o`

Áp dụng tính chất trong tam giác vuông, cạnh đối diện với góc `30^o=1/2` cạnh huyền

`=>AV=1/2 AN` (1)

`hat{OBM}+hat{OMB}=90^o`

`=>hat{OMB}=90^o-60^o=30^o`

`\triangle BOM` vuông tại `O` có `hat{OMB}=30^o`

Áp dụng tính chất trong tam giác vuông, cạnh đối diện với góc `30^o=1/2` cạnh huyền

`=> OB=1/2 BM=1/2 NC` (2)

(1)+(2)

`=> AV + OB = 1/2 (AN+NC)=1/2 AC=1/2 AC`

Với `N` không trùng `U`

`\triangle MUN` vuông tại `U` có :

`MN` là cạnh lớn nhát

`=>MN > MU`

Với `N` trùng `U`

`=>MN=MU`

Kết hợp ta được : `MU\le MN`

Khá dễ dàng chứng minh được `MOVU` là hình chữ nhật

`=> MU=OV`

`=> OV\le MN`

`OV = AB - (BO + AV)=AB - 1/2 AB = 1/2 AB`

`=> MN\ge 1/2 AB`

Dấu "`=`" xảy ra khi :

`MN=1/2 AB` mà `M,N\in BC,AC`

`=>M,N` là trung điểm của `BC,AC`

Thật vậy `MN` nhỏ nhất khi `M,N` là trung điểm của `BC,AC`

Độ dài `MN` nhỏ nhất là : `1/2 AB=1/2 . 4 = 2cm`