Ta có : $A=1.2.3 +2.3.4+...+k.(k+1).(k+2)$

$⇒4A = 1.2.3.4 + 2.3.4.4 +...+k.(k+1).(k+2).4 $

$=1.2.3.(4-0) + 2.3.4.(5-1) + .... + k.(k+1).(k+2).[(k+3)-(k-1)]$

$=1.2.3.4 - 0.1.2.3 + 2.3.4.5 - 1.2.3.4 + ... + k.(k+1).(k+2).(k+3) - (k-1).k.(k+1).(k+2) $

$= 1.2.3.4+2.3.4.5-1.2.3.4+...+k(k+1).(k+2).(k+3)- (k-1).k.(k+1).(k+2) $

$=k.(k+1).(k+2).(k+3)$

$⇒ 4A + 1 = k(k+1).(k+2).(k+3)+1 $

$= [k.(k+3)].[(k+1).(k+2)] + 1 $

$=(k^2+3k).(k^2+3k+2) + 1 $

$ = (k^2+3k)^2 + 2.(k^2+3k) + 1$

$= (k^2+3k+1)^2$ luôn là một số chính phương (đpcm)

Chúc bạn học tốt !!

 

 A=1.2.3+2.3.4+...+k(k+1)(k+2)

4A=1.2.3.4+2.3.4(5-1)+...+k.(k+1).(k+2).[(k+3)-(k-1)]

4A=1.2.3.4+2.3.4.5-1.2.3.4+...+k.(k+1).(k+2).(k+3)-(k-1).k.(k+1)(k+2)

4A=k(k+1).(k+2).(k+3)

⇒4A+1=k.(k+1).(k+2).(k+3)+1

   4A+1=[k.(k+3)].[(k+1).(k+2)]+1

   4A+1=(k²+3k)(k²+3k+2)+1

   Đặt k²+3k=t

⇒4A+1=t.(t+2)+1

   4A+1=t²+2t+1

   4A+1=(t+1).(t+1)

   4A+1=(t+1)²

   4A+1=(k²+3k+1)²

Mà (k²+3k+1)² là số chính phương

⇒ 4A+1 luôn là số chính phương

Vậy 4A+1 luôn là số chính phương.