Đáp án:

$|\overrightarrow{AG}| = \dfrac{a\sqrt3}{3}$

$|\overrightarrow{BI}| = \dfrac{a\sqrt{21}}{6}$

Giải thích các bước giải:

Gọi $M$ là trung điểm $BC$ 

$\Rightarrow AG = \dfrac{2}{3}AM$

Ta có: $ΔABC$ đều

$\Rightarrow AM = \dfrac{AB\sqrt3}{2} = \dfrac{a\sqrt3}{2}$

$\Rightarrow AG = \dfrac{2}{3}\cdot \dfrac{a\sqrt3}{2} = \dfrac{a\sqrt3}{3}$

Ta được: $|\overrightarrow{AG}| = AG = \dfrac{a\sqrt3}{3}$

Ta cũng có:

$AM$ là trung tuyến ứng với cạnh $BC$ của tam giác đều $ABC$

$\Rightarrow AM$ cũng là phân giác của $\widehat{BAC}$

$\Rightarrow \widehat{BAM} = \dfrac{1}{2}\widehat{BAC} = \dfrac{1}{2}.60^o = 30^o$

hay $\widehat{BAI} = 30^o$

Áp dụng định lý $\cos$ vào $ΔBAI$ ta được:

$BI^2 = AB^2 + AI^2 - 2.AB.AI.\cos\widehat{BAI}$

$\Leftrightarrow BI^2 = AB^2 + \left(\dfrac{1}{2}AG\right)^2 - 2.AB.\dfrac{1}{2}AG.\cos30^o$

$\Leftrightarrow BI^2 = a^2 + \left(\dfrac{a\sqrt3}{6}\right)^2 - 2.a.\dfrac{a\sqrt3}{6}.\dfrac{\sqrt3}{2}$

$\Leftrightarrow BI^2 = \dfrac{7a^2}{12}$

$\Rightarrow BI = \dfrac{a\sqrt{21}}{6}$

Ta được: $|\overrightarrow{BI}| = BI = \dfrac{a\sqrt{21}}{6}$