a, Xét $ΔABD$ có:

$QA=QD(GT)$

$MA=MB(GT)$

$⇒QM$ là đường trung bình trong $ΔABD$

$⇒QM//BD(1)$

Xét $ΔBDC$ có:

$NB=NC (GT)$

$PD=PC(GT)$

$⇒NP$ là đường trung bình trong $ΔBDC$

$⇒NP//BD(2)$

Từ (1) và (2)$⇒QM//NP$ (cùng $//BD$) (*)

Xét $ΔBAN$ có:

$MA=MB (GT)$

$NB=NC (GT)$

$⇒MN$ là đường trung binh trong $ΔBAN$

$⇒MN//AN(3)$

Xét $ΔDAC$ có:

$QA=QD (GT)$

$DP=PC(GT)$

$⇒PQ$ là đường trunh bình trong $ΔDAC$

$⇒PQ//AC(4)$

Từ (3) và (4)$⇒PA//MB$ (cùng $//AC$) (**)

Từ (*) và (**)$⇒MNPQ$ là HBH (theo dấu hiệu 1)

b, Để $MNPQ$ là HCN

$⇒PQM=90^o$

Ta có: $QM//BD$

$AC//PQ$

$⇒AC⊥BD$ 

Vậy cần thêm điều kiện 2 đường chéo vuông góc với nhau

Để $MNPQ$ là hình thoi

Thì $MNPQ$ là HBH và $MN=MQ$

Để $MNPQ$ là hình vuông

Thì $MNPQ$ là HCN và $MN=MQ$