Ta có : $A=1+2+2^2+2^3+...+2^{99}$

$⇒2A = 2+2^2+2^3+2^4+...+2^{100}$

$⇒2A-A=(2+2^2+2^3+..+2^{100})-(1+2+2^2+...+2^{99})$

$⇒A=2^{100}-1$

$⇒A+1=2^{100}

Ta có: 2¹⁰⁰ = (2¹⁰)¹⁰ = 1024¹⁰ 

10³⁰ = (10³)¹⁰ = 1000¹⁰

Vì 1024¹⁰ > 1000¹⁰ nên 2¹⁰⁰ > 10³⁰ (1)

Lại có:

2¹⁰⁰ = 2³¹.2⁶³.2⁶ = 2³¹.512⁷.64

và 10³¹ = (2.5)³¹ = 2³¹.5³¹ = 2³¹.5²⁸.5³ = 2³¹.625⁷.125

Vì 2³¹.512⁷.64 < 2³¹.625⁷.125 nên 2¹⁰⁰ < 10³¹ (2)

Từ (1) và (2) ⇒ 2¹⁰⁰  có 31 chữ số.

Vì vậy : $A$ có 31 chữ số. (đpcm)

 

Ta có : A=1+2+22+23+...+299A=1+2+22+23+...+299⇒2A=2+22+23+24+...+2100⇒2A=2+22+23+24+...+2100⇒2A−A=(2+22+23+..+2100)−(1+2+22+...+299)⇒2A−A=(2+22+23+..+2100)−(1+2+22+...+299)⇒A=2100−1⇒A=2100−1⇒A+1=2^{100}Ta có: 2100 = (210)10 = 102410 1030 = (103)10 = 100010Vì 102410 > 100010 nên 2100 > 1030 (1)Lại có:2100 = 231.263.26 = 231.5127.64và 1031 = (2.5)31 = 231.531 = 231.528.53 = 231.6257.125Vì 231.5127.64 < 231.6257.125 nên 2100 < 1031 (2)Từ (1) và (2) ⇒ 2100 có 31 chữ số.Vì vậy : AA có 31 chữ số. (đpcm)