a) Áp dụng BĐT $AM-GM$ ta được :

$a+b+c ≥ 3\sqrt[3]{abc}$ 

$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} ≥ 3\sqrt[3]{\frac{1}{a}.\frac{1}{b}.\frac{1}{c}} = 3 \sqrt[3]{\frac{1}{abc}}$

 $⇒(a+b+c).(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}+\frac{1}{c})  ≥ 9 $ (đpcm)

Dấu "=" xảy ra $⇔a=b=c$.

b) Áp dụng BĐT ở câu a) ta có :

$[2(a+b+c)](\frac{a^2}{a+b} +\frac{b^2}{c+a}+\frac{c}{a+b} ) ≥ (a+b+c)^2$

$⇒ \frac{a^2}{a+b} +\frac{b^2}{c+a}+\frac{c}{a+b} ≥ \frac{a+b+c}{2} $.

Dấu "=" xảy ra $⇔ a=b=c$.

Câu a) và b) anh có thể sử dụng BĐT Bunhiacopxki cũng được nhé !

Chúc anh học tốt !

Câu a) Cách khác :

Ta có : $(a+b+c).(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}+\frac{1}{c}) = 1+\frac{a}{b}+ \frac{a}{c} + \frac{b}{a} + 1 + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} + \frac{c}{b} + 1 

$=3+(\frac{a}{b}+\frac{b}{a})+(\frac{a}{c}+\frac{c}{a})+(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}) $

Ta đi chứng minh : $ \frac{x}{y} + \frac{y}{x} ≥ 2 ∀x,y > 0$

Thật vậy, BĐT cần chứng minh tương đương : \frac{(x-y)^2}{xy} ≥ 0 ( đúng )

Áp dụng vào bài toán ta có : $ (\frac{a}{b}+\frac{b}{a})+(\frac{a}{c}+\frac{c}{a})+(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}) ≥ 6$

$⇒3+(\frac{a}{b}+\frac{b}{a})+(\frac{a}{c}+\frac{c}{a})+(\frac{b}{c}+\frac{c}{b})  ≥ 9$

$⇒(a+b+c).(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}+\frac{1}{c})  ≥ 9 $ (đpcm)

Dấu "=" xảy ra $⇔a=b=c$.

a. Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số dương ta có:

$a + b + c \geq \sqrt[3]{abc}$

$\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} \geq \sqrt[3]{\dfrac{1}{abc}}$

Suy ra: $\left ( a + b + c \right )\left ( \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} \right ) \geq 3.3\sqrt[3]{abc.\dfrac{1}{abc}} = 9$

Dấu "=" xảy ra khi $a = b = c$

b. Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương ta có:

$\dfrac{a^{2}}{b + c} + \dfrac{b + c}{4} \geq \sqrt{\dfrac{a^{2}}{b + c}.\dfrac{b + c}{4}} = \sqrt{\dfrac{a^{2}}{4}} = \dfrac{a}{2}$ $\left ( 1 \right )$

Tương tự ta có:

$\dfrac{b^{2}}{c + a} + \dfrac{b + c}{4} \geq \dfrac{b}{2}$ $\left ( 2 \right )$

$\dfrac{c^{2}}{a + b} + \dfrac{a + b}{4} \geq \dfrac{c}{2}$ $\left ( 3 \right )$

Cộng từng vế với vế của $\left ( 1 \right ), \left ( 2 \right )$ và $\left ( 3 \right )$ ta có đpcm