Đáp án:

 b) $\left( {SB,\left( {ABC} \right)} \right) = \arctan \left( {\dfrac{1}{2}} \right)$ và $\left( {SC,\left( {ABC} \right)} \right) = {45^0}$

d) $\left( {SB,\left( {SAC} \right)} \right) = \arccos \left( {\dfrac{{\sqrt {15} }}{5}} \right)$

e) $\left( {SA,\left( {SBC} \right)} \right) = {45^0}$

f) $\sin \left( {SC,\left( {SAB} \right)} \right) = \dfrac{{\sqrt 6 }}{4}$

Giải thích các bước giải:

 a) Ta có:

$\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
BC \bot SA\left( {SA \bot \left( {ABC} \right)} \right)\\
BC \bot AC\left( {\Delta ABC;\widehat C = {{90}^0}} \right)
\end{array} \right.\\
 \Rightarrow BC \bot \left( {SAC} \right)
\end{array}$

Ta có:

$BC \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow BC \bot AI$

$\begin{array}{l}
\Delta ABC;\widehat C = {90^0};\widehat A = {60^0};AB = 2a\\
 \Rightarrow AC = AB.\cos A = 2a.\cos {60^0} = 2a.\dfrac{1}{2} = a\\
 \Rightarrow AC = SA
\end{array}$

$ \Rightarrow \Delta SAC$ cân ở A $\to AI\bot SC$

Như vậy:

$\left\{ \begin{array}{l}
AI \bot SC\\
AI \bot BC
\end{array} \right. \Rightarrow AI \bot \left( {SBC} \right)$

b) Ta có:

$SA \bot \left( {ABC} \right)$$\to AB,AC$ lần lượt là hình chiếu của $SB,SC$ trên $(ABC)$

Khi đó:

$\left\{ \begin{array}{l}
\left( {SB,\left( {ABC} \right)} \right) = \left( {SB,AB} \right) = \widehat {SBA}\\
\left( {SC,\left( {ABC} \right)} \right) = \left( {SC,AC} \right) = \widehat {SCA}
\end{array} \right.$

Ta có:

$\begin{array}{l}
\Delta SBA;\widehat {SAB} = {90^0}\left( {SA \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SA \bot AB} \right);SA = a;AB = 2a\\
 \Rightarrow \tan \widehat {SBA} = \dfrac{{SA}}{{AB}} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow \widehat {SBA} = \arctan \left( {\dfrac{1}{2}} \right) \Rightarrow \left( {SB,\left( {ABC} \right)} \right) = \arctan \left( {\dfrac{1}{2}} \right)\\
\Delta SCA;\widehat {SAC} = {90^0}\left( {SA \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SA \bot AC} \right);SA = a;AC = a\\
 \Rightarrow \tan \widehat {SCA} = \dfrac{{SA}}{{AC}} = 1 \Rightarrow \widehat {SCA} = {45^0} \Rightarrow \left( {SC,\left( {ABC} \right)} \right) = {45^0}
\end{array}$

Vậy $\left( {SB,\left( {ABC} \right)} \right) = \arctan \left( {\dfrac{1}{2}} \right)$ và $\left( {SC,\left( {ABC} \right)} \right) = {45^0}$

d) Ta có:

$BC \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow SC$ là hình chiếu của $SB$ lên $(SAC)$

$\left( {SB,\left( {SAC} \right)} \right) = \left( {SB,SC} \right) = \widehat {BSC}$

Lại có:

$\begin{array}{l}
\Delta ABC;\widehat C = {90^0};AB = 2a;\widehat A = {60^0} \Rightarrow BC = AB.\sin A = a\sqrt 3 \\
\Delta SBA;\widehat {SAB} = {90^0};SA = a;AB = 2a \Rightarrow SB = \sqrt {S{A^2} + A{B^2}}  = a\sqrt 5 
\end{array}$

Khi đó:

$\begin{array}{l}
\Delta SBC;\widehat {SCB} = {90^0}\left( {BC \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow BC \bot SC} \right);SB = a\sqrt 5 ;BC = a\sqrt 3 \\
 \Rightarrow \cos \widehat {BSC} = \dfrac{{BC}}{{SB}} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{{a\sqrt 5 }} = \dfrac{{\sqrt {15} }}{5} \Rightarrow \widehat {BSC} = \arccos \left( {\dfrac{{\sqrt {15} }}{5}} \right)\\
 \Rightarrow \left( {SB,\left( {SAC} \right)} \right) = \arccos \left( {\dfrac{{\sqrt {15} }}{5}} \right)
\end{array}$

Vậy $\left( {SB,\left( {SAC} \right)} \right) = \arccos \left( {\dfrac{{\sqrt {15} }}{5}} \right)$

e) Ta có:

$AI \bot \left( {SBC} \right) \Rightarrow SI$ là hình chiếu của $SA$ trên $(SBC)$

$\begin{array}{l}
AI \bot \left( {SBC} \right) \Rightarrow SI\\
 \Rightarrow \left( {SA,\left( {SBC} \right)} \right) = \left( {SA,SI} \right) = \widehat {ASI} = {90^0} - \widehat {SCA} = {90^0} - {45^0} = {45^0}
\end{array}$

Vậy $\left( {SA,\left( {SBC} \right)} \right) = {45^0}$

f) Kẻ $CD\bot AB=D$

Ta có:

$\left\{ \begin{array}{l}
CD \bot AB\\
CD \bot SA\left( {SA \bot \left( {ABC} \right)} \right)
\end{array} \right. \Rightarrow CD \bot \left( {SAB} \right)$

$ \Rightarrow SD$ là hình chiếu của $SC$ trên $(SAB)$

$ \Rightarrow \left( {SC,\left( {SAB} \right)} \right) = \left( {SC,SD} \right) = \widehat {CSD}$

Ta có:

$\begin{array}{l}
\Delta ACD;\widehat D = {90^0};AC = a;\widehat A = {60^0}\\
 \Rightarrow CD = AC.\sin A = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}
\end{array}$

$\begin{array}{l}
\Delta SAC;\widehat {SAC} = {90^0};SA = AC = a\\
 \Rightarrow SC = \sqrt {S{A^2} + A{C^2}}  = a\sqrt 2 
\end{array}$

Suy ra:

$\begin{array}{l}
\Delta SCD;\widehat {CDS} = {90^0}\left( {CD \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow CD \bot SD} \right);CD = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2};SC = a\sqrt 2 \\
 \Rightarrow \sin \widehat {CSD} = \dfrac{{CD}}{{SC}} = \dfrac{{\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}}}{{a\sqrt 2 }} = \dfrac{{\sqrt 6 }}{4}\\
 \Rightarrow \sin \left( {SC,\left( {SAB} \right)} \right) = \dfrac{{\sqrt 6 }}{4}
\end{array}$

Vậy $\sin \left( {SC,\left( {SAB} \right)} \right) = \dfrac{{\sqrt 6 }}{4}$