a, Xét ΔAED và ΔAFD ta có:

AD chung

\(\widehat{EAD}\) = \(\widehat{FAD}\)

=> ΔAED = ΔAFD ( cạnh huyền - góc nhọn)

=> DE = DF

=> ΔDEF cân tại D

Lại có: \(\widehat{EDA}\) = \(\widehat{FDA}\) 

mà \(\widehat{EDA}\) = 90\(^{\circ}\) - \(\widehat{EAD}\) = 90\(^{\circ}\) - 60\(^{\circ}\) = 30\(^{\circ}\)

=> \(\widehat{EDF}\) =\(\widehat{EDA}\) + \(\widehat{FDA}\) = \(\widehat{EDA}\) . 2 = 30\(^{\circ}\) . 2 = 60\(^{\circ}\)

=> ΔDEF đều

b, AD // CM

=> \(\widehat{ACM}\)= \(\widehat{FAD}\) = 60\(^{\circ}\)  ( so le trong)

\(\widehat{CAM}\) = 180\(^{\circ}\) - \(\widehat{BAC}\) = 180\(^{\circ}\)  - 120\(^{\circ}\) = 60\(^{\circ}\)

=> \(\widehat{ACM}\) = \(\widehat{CAM}\) = 60 \(^{\circ}\)

=> ΔMAC đều

=> MA = MC

c, Phân giác \(\widehat{ABC}\) và phân giác \(\widehat{ACB}\) cắt nhau tại I

=> Phân giác \(\widehat{BAC}\)  cũng đi qua I

=> AD đi qua I

=> A, I , D thẳng hàng

d, ΔMAC đều

=> AC = AM = a

=> AF = AC - CF = a-b

Lại có \(\widehat{ADF}\) = 30\(^{\circ}\)

Trong một tam giác vuông, cạnh đối diện với góc 30\(^{\circ}\) bằng một nửa cạnh huyền

=> AF = AD : 2

hay a-b = AD : 2

=> AD = 2(a-b)