Bài 1:

$\frac{5}{11}=\frac{15}{33}$

Ta sẽ phân tích 15 thành tổng của 3 số mà 333 chia hết cho nó.

Ta có $15=11+3+1$

Như vậy : $\frac{5}{11}=\frac{15}{33}=\frac{11+3+1}{33}=\frac{11}{33}+\frac{1}{33}+\frac{3}{33}=\frac{1}{3}+\frac{1}{33}+\frac{1}{11}$

Vậy $\frac{5}{11}=\frac{1}{3}+\frac{1}{33}+\frac{1}{11}$

Bài 2:

$\frac{1}{4}+\frac{1}{28}+\frac{1}{70}+...$

$=\frac{1}{1\times4}+\frac{1}{4\times7}+\frac{1}{7\times10}+...$

Xét dãy số $1, 4, 7...$ thì số hạng thứ $100$ của dãy là:

        $1+99\times3=298$

Vây số hạng thứ $100$ của dãy số cần tính là $\frac{1}{298\times301}$ 

Đặt A $=\frac{1}{1\times4}+\frac{1}{4\times7}+\frac{1}{7\times10}+...+\frac{1}{298\times301}$ 

A $=\frac{1}{3}\times(\frac{3}{1\times4}+\frac{3}{4\times7}+\frac{3}{7\times10}+...+\frac{3}{298\times301})$ 

A $=\frac{1}{3}\times(1-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{7}+\frac{1}{7}-\frac{1}{10}+...+\frac{1}{298}-\frac{1}{301})$ 

A $=\frac{1}{3}\times(1-\frac{1}{301})$ 

A $=\frac{1}{3}\times\frac{300}{301}$

A $=\frac{100}{301}$

Bài 1:

511=1533511=1533

Ta sẽ phân tích 15 thành tổng của 3 số mà 333 chia hết cho nó.

Ta có 15=11+3+115=11+3+1

Như vậy : 511=1533=11+3+133=1133+133+333=13+133+111511=1533=11+3+133=1133+133+333=13+133+111

Vậy 511=13+133+111511=13+133+111

Bài 2:

14+128+170+...14+128+170+...

=11×4+14×7+17×10+...=11×4+14×7+17×10+...

Xét dãy số 1,4,7...1,4,7... thì số hạng thứ 100100 của dãy là:

        1+99×3=2981+99×3=298

Vây số hạng thứ 100100 của dãy số cần tính là 1298×3011298×301 

Đặt A =11×4+14×7+17×10+...+1298×301=11×4+14×7+17×10+...+1298×301 

A =13×(31×4+34×7+37×10+...+3298×301)=13×(31×4+34×7+37×10+...+3298×301) 

A =13×(1−14+14−17+17−110+...+1298−1301)=13×(1−14+14−17+17−110+...+1298−1301) 

A =13×(1−1301)=13×(1−1301) 

A =13×300301=13×300301

A =100301