Đáp án:

$k = -\dfrac13$

Giải thích các bước giải:

$(d): y = \dfrac{2k}{k-1} + \dfrac1k$

Gọi $M(x_o;y_o)$ là điểm có định của họ đường thẳng $(d)$

Ta có:

$\quad 2kx_o + (k-1)y_o = 2$

$\Leftrightarrow k(2x_o +y_o) - y_o - 2 =0$

$\Leftrightarrow \begin{cases}2x_o + y_o = 0\\-y_o - 2 =0\end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases}x_o = 1\\y_o= -2\end{cases}$

$\Rightarrow M(1;-2)$

Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $O$ lên $(d)$

Ta luôn có:

$OH \leqslant OM$ (mối quan hệ đường vuông góc - đường xiên)

Khi đó:

$OH\ \max \Leftrightarrow OH = OM$

$\Leftrightarrow H\equiv M$

$\Leftrightarrow M$ là hình chiếu vuông góc của $O$ lên $(d)$

Gọi $(d_1): y =ax$ là đường thẳng đi qua gốc tọa độ

$M(1;-2)\in (d_1) \Leftrightarrow a = - 2$

$\Rightarrow (d_1): y = -2x$

Khi đó $(d)\perp (d_1) \Leftrightarrow -2\cdot \dfrac{2k}{k-1} = -1$

$\Leftrightarrow k = -\dfrac13$