a)

$MI \bot AB\Rightarrow\widehat{ AIM} = 90^o $

$MK \bot AC \Rightarrow\widehat{MKA} = 90^o$

Xét tứ giác $AIMK$ có:

$\widehat{ AIM} + \widehat{ MKA} = 90^o + 90^o = 180^o$ mà hai góc này ở vị trí đối đỉnh.

Suy ra tứ giác $AIMK$ nội tiếp đường tròn đường kính $(AM)$

b)

Xét tứ giác $KMPC$ ta có:

$\widehat{MPC} = 90^o$ (MP⊥BC)

$\widehat{MKC} = 90^o$ (MK⊥AC)

$⇒ \widehat{MPC} +\widehat{ MKC} = 180^o$ mà 2 góc này ở vị trí đối nhau

$⇒$ tứ giác $KMPC$ nội tiếp nội tiếp đường tròn đường kính $(MC)$

$⇒ \widehat{MPK} =\widehat{ MCK}$ (1) (2 góc nội tiếp cùng chắng cung MK của tứ giác KMPC)

$\widehat{MCK} = \widehat{MBC}$ (2) (góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cùng chắng cung CM của (O))

Từ (1) và (2) ⇒ $\widehat{MPK} =\widehat{ MBC}$ (đpcm) (3)

c)

Xét tứ giác $PBMI$ ta có:

$\widehat{BPM} = 90^o$ (MP⊥BC)

$\widehat{BIM} = 90^o$ (MI⊥BA)

$⇒\widehat{ BPM} + \widehat{BIM} = 180^o$ mà 2 góc này ở vị trí đối nhau

$⇒$ tứ giác $PBMI$ là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính $(BM)$

$⇒ \widehat{MIP} =\widehat{ MBC}$ (4) (2 góc nội tiếp cùng chắn cung MP của tứ giác PBMI)

Từ (3) và (4) $⇒ \widehat{MIP} = \widehat{MPK}$ (*)

Ta có:

$\widehat{PMI} + \widehat{PBI} = 180^o$

$\widehat{PMK} +\widehat{ PCK} = 180^o$

mà $\widehat{ABC} =\widehat{ ACB}$

Từ ba điều trên suy ra $\widehat{ PMK }=\widehat{ PMI}$ (**)

Xét ΔMIP và ΔMPK ta có:

$\widehat{PMK} = \widehat{PMI}$ (chứng minh từ (**))

$\widehat{MIP} =\widehat{ MPK}$ (chứng minh từ (*))

$⇒ Δ MIP \sim Δ MPK$

$⇔ \dfrac{MI}{MP}=\dfrac{MP}{MK}$ (hai cạnh tương ứng tỉ lệ)

$ ⇔ MP2 = MI . MK$

$⇒ MI . MK . MP = MP3$

$⇒ MI . MK . MP $ lớn nhất $⇔$ $MP$ lớn nhất

Dựng $OD\bot BC, MO\cap BC=E\Rightarrow OD$ cố định

$\Rightarrow MP\le ME$

$\Rightarrow OD\le OE$

$\Rightarrow MP+OD\le ME+OE=MO$

$\Rightarrow MP\le MO-OD=R-OD\Rightarrow MP$ lớn nhất khi $MP=R-OD$

$⇒ M$ nằm chính giữa cung nhỏ $BC$.

VOTE MIK 5 SAO NHE BN